Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · Aragón · 2024

El satélite meteorológico Flexible Combined Imager, con una masa de 2000 kg, fue lanzado por la Agencia Europea del Espacio el 13 de diciembre de 2022 y está revolucionando la predicción meteorológica en Europa.

a) ¿Qué energía hubo que transmitirle para ponerlo en órbita circular a una altitud de 36.000 km, despreciando la energía cinética inicial? [1 punto]

b) ¿Cuáles serán su velocidad y su periodo una vez en órbita? [1,5 puntos]

Datos: constante de gravitación universal, $G = 6{,}67 \cdot 10^{-11}\ \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{kg}^2$; radio de la Tierra, $R_T = 6370\ \text{km}$; masa de la Tierra, $M_T = 5{,}972 \cdot 10^{24}\ \text{kg}$.

$\textbf{a) ¿Qué energía hubo que transmitirle para ponerlo en órbita circular a una altitud de 36.000 km, despreciando la energía cinética inicial? [1 punto]}$










La energía que hay que comunicarle es la diferencia entre su energía mecánica en la órbita y la que tenía en la superficie. En la superficie, despreciando la energía cinética inicial, solo hay energía potencial:

$E_{\text{sup}}=-G\dfrac{M_T\,m}{R_T}$





Una vez en órbita circular de radio $r=R_T+h$, la fuerza gravitatoria es la centrípeta, y de ahí sale la energía cinética orbital:

$G\dfrac{M_T\,m}{r^2}=m\dfrac{v^2}{r}\Rightarrow \dfrac{1}{2}mv^2=\dfrac{G\,M_T\,m}{2r}$

Con lo que la energía mecánica en la órbita es la mitad de la potencial:

$E_{\text{orb}}=\dfrac{G\,M_T\,m}{2r}-\dfrac{G\,M_T\,m}{r}=-\dfrac{G\,M_T\,m}{2r}$

La energía pedida es la diferencia entre las dos:

$\Delta E=E_{\text{orb}}-E_{\text{sup}}=-\dfrac{G\,M_T\,m}{2\left(R_T+h\right)}+\dfrac{G\,M_T\,m}{R_T}$

Se sustituyen los datos en unidades del Sistema Internacional:

$R_T=6370\ \text{km}=6{,}37\cdot10^6\ \text{m}\qquad h=36\,000\ \text{km}=3{,}6\cdot10^7\ \text{m}$

$r=R_T+h=4{,}237\cdot10^7\ \text{m}$

$\Delta E=-\dfrac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot5{,}972\cdot10^{24}\cdot2000}{2\cdot4{,}237\cdot10^{7}}+\dfrac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot5{,}972\cdot10^{24}\cdot2000}{6{,}37\cdot10^{6}}$

$\Delta E=-9{,}40\cdot10^{9}+1{,}251\cdot10^{11}=1{,}16\cdot10^{11}\ \text{J}$

Hubo que transmitirle $1{,}16\cdot10^{11}\ \text{J}$. Casi toda esa energía se emplea en subirlo, no en darle velocidad: el término de la energía potencial en la superficie es un orden de magnitud mayor que el orbital.

$\textbf{b) ¿Cuáles serán su velocidad y su periodo una vez en órbita? [1,5 puntos]}$

De la igualdad entre la fuerza gravitatoria y la centrípeta del apartado anterior se despeja la velocidad orbital:

$v=\sqrt{\dfrac{G\,M_T}{r}}$

$v=\sqrt{\dfrac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot5{,}972\cdot10^{24}}{4{,}237\cdot10^{7}}}=3{,}07\cdot10^{3}\ \text{m/s}$

Como el movimiento es circular uniforme, el periodo es el tiempo que tarda en recorrer la circunferencia completa:

$T=\dfrac{2\pi r}{v}=\dfrac{2\pi\cdot4{,}237\cdot10^{7}}{3{,}07\cdot10^{3}}=8{,}68\cdot10^{4}\ \text{s}$

El satélite orbita a $3{,}07\cdot10^{3}\ \text{m/s}$ con un periodo de $8{,}68\cdot10^{4}\ \text{s}$, es decir, $24{,}1\ \text{h}$: es prácticamente un satélite geoestacionario, como corresponde a un satélite meteorológico que debe vigilar siempre la misma región.