Ejercicio resuelto de Óptica · Física · Aragón · 2024

Se dispone de una lente divergente de focal $f^{\mathrm{\prime }}=-30\text{ cm}$.

a) Determine la posición y el tamaño de la imagen de un objeto de 2,5 cm de altura situado a 50 cm de la lente y haga un trazado de rayos del problema. [1,75 puntos]

b) ¿Cuál es la potencia de la lente? [0,75 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{posici}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{tama}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{imagen}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{objeto}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{2,5}}\mathbf{\text{cm}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{altura}}\mathbf{\text{situado}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{50}}\mathbf{\text{cm}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{lente}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{haga}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{trazado}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{rayos}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{problema.}}\mathbf{\text{[1,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Se usa el criterio DIN, con la luz viajando de izquierda a derecha, el origen en el centro óptico de la lente y las distancias medidas desde él: el objeto está a la izquierda, luego $s=-50\text{ cm}$, y la lente es divergente, luego $f^{\mathrm{\prime }}=-30\text{ cm}$.

La ecuación de las lentes delgadas es:

${\displaystyle \frac{1}{s^{\mathrm{\prime }}}}-{\displaystyle \frac{1}{s}}={\displaystyle \frac{1}{f^{\mathrm{\prime }}}}$

Se despeja la posición de la imagen:

${\displaystyle \frac{1}{s^{\mathrm{\prime }}}}={\displaystyle \frac{1}{f^{\mathrm{\prime }}}}+{\displaystyle \frac{1}{s}}={\displaystyle \frac{1}{-30}}+{\displaystyle \frac{1}{-50}}$

${\displaystyle \frac{1}{s^{\mathrm{\prime }}}}=-{\displaystyle \frac{8}{150}}\Rightarrow s^{\mathrm{\prime }}=-\mathrm{18,75}\text{ cm}$

El aumento lateral relaciona los tamaños con las distancias:

$\beta ={\displaystyle \frac{y^{\mathrm{\prime }}}{y}}={\displaystyle \frac{s^{\mathrm{\prime }}}{s}}={\displaystyle \frac{-\mathrm{18,75}}{-50}}=\mathrm{0,375}$

$y^{\mathrm{\prime }}=\beta y=\mathrm{0,375}\cdot \mathrm{2,5}=\mathrm{0,94}\text{ cm}$

La imagen se forma a $\mathrm{18,75}\text{ cm}$ de la lente, del mismo lado que el objeto, y mide $\mathrm{0,94}\text{ cm}$. Al ser $s^{\mathrm{\prime }}<0$ la imagen es virtual, y al ser $y^{\mathrm{\prime }}>0$ es derecha y menor que el objeto, que es lo que siempre ocurre con una lente divergente.



En el trazado se han dibujado los tres rayos habituales: el paralelo al eje, que emerge alineado con el foco imagen $F^{\mathrm{\prime }}$; el que pasa por el centro óptico, que no se desvía; y el dirigido al foco objeto $F$, que emerge paralelo al eje. Los rayos emergentes divergen, y es la prolongación hacia atrás de los tres la que se corta en la imagen: por eso es virtual.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{potencia}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{lente?}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$

La potencia de una lente es la inversa de su distancia focal imagen expresada en metros:

$P={\displaystyle \frac{1}{f^{\mathrm{\prime }}}}={\displaystyle \frac{1}{-\mathrm{0,30}}}=-\mathrm{3,33}\text{dioptr}\acute{\text{ı}}\text{as}$

La potencia de la lente es de $-\mathrm{3,33}\text{dioptr}\acute{\text{ı}}\text{as}$. El signo negativo es el que distingue a las lentes divergentes de las convergentes.