Ejercicio resuelto de Física cuántica · Física · Aragón · 2024

Conteste a las siguientes preguntas:

a) Enuncie y explique la hipótesis de De Broglie. [0,5 puntos]

b) Un electrón se acelera de forma que adquiere una energía cinética de 980 eV. ¿Cuál es la longitud de onda asociada al electrón? [1 punto]

c) Si se desea frenar el electrón, ¿a qué diferencia de potencial electrostático habrá que someterlo? Haga un dibujo mostrando hacia dónde se desplaza el electrón y las dos placas, positiva y negativa, entre las que se introduce la diferencia de potencial electrostático. [1 punto]

Datos: constante de Planck, $h = 6{,}63 \cdot 10^{-34}\ \text{J} \cdot \text{s}$; carga del electrón, $q_e = -1{,}60 \cdot 10^{-19}\ \text{C}$; masa del electrón, $m_e = 9{,}1 \cdot 10^{-31}\ \text{kg}$; $1\ \text{eV} = 1{,}60 \cdot 10^{-19}\ \text{J}$.

$\textbf{a) Enuncie y explique la hipótesis de De Broglie. [0,5 puntos]}$

La hipótesis de De Broglie afirma que la dualidad onda-corpúsculo no es exclusiva de la luz: toda partícula material en movimiento tiene asociada una onda cuya longitud de onda es

$\lambda=\dfrac{h}{p}=\dfrac{h}{m\,v}$

De este modo, el comportamiento ondulatorio o corpuscular que se observa depende del experimento que se realice, y no de la naturaleza del objeto.

La longitud de onda asociada es inapreciable para los cuerpos macroscópicos, porque su cantidad de movimiento es enorme comparada con la constante de Planck. Solo en las partículas subatómicas resulta comparable a las distancias interatómicas, y ahí se manifiesta: es lo que confirmó la difracción de electrones en un cristal.

$\textbf{b) Un electrón se acelera de forma que adquiere una energía cinética de 980 eV. ¿Cuál es la longitud de onda asociada al electrón? [1 punto]}$

Primero se pasa la energía cinética a unidades del Sistema Internacional:

$E_c=980\ \text{eV}\cdot\dfrac{1{,}60\cdot10^{-19}\ \text{J}}{1\ \text{eV}}=1{,}568\cdot10^{-16}\ \text{J}$

A esa velocidad el electrón sigue siendo no relativista, así que su velocidad se obtiene de la expresión clásica de la energía cinética:

$E_c=\dfrac{1}{2}m_e\,v^2\Rightarrow v=\sqrt{\dfrac{2E_c}{m_e}}$

$v=\sqrt{\dfrac{2\cdot1{,}568\cdot10^{-16}}{9{,}1\cdot10^{-31}}}=1{,}86\cdot10^{7}\ \text{m/s}$

Y con la hipótesis de De Broglie:

$\lambda=\dfrac{h}{m_e\,v}=\dfrac{6{,}63\cdot10^{-34}}{9{,}1\cdot10^{-31}\cdot1{,}86\cdot10^{7}}=3{,}92\cdot10^{-11}\ \text{m}$

La longitud de onda asociada al electrón es de $3{,}92\cdot10^{-11}\ \text{m}$, del orden de las distancias entre átomos de un cristal, que es lo que permite usar electrones para estudiar su estructura.

$\textbf{c) Si se desea frenar el electrón, ¿a qué diferencia de potencial electrostático habrá que someterlo? Haga un dibujo mostrando hacia dónde se desplaza el electrón y las dos placas, positiva y negativa, entre las que se introduce la diferencia de potencial electrostático. [1 punto]}$

Para detener el electrón, el trabajo que hace el campo eléctrico sobre él debe consumir toda su energía cinética:

$|q_e|\,\Delta V=E_c$

$\Delta V=\dfrac{E_c}{|q_e|}=\dfrac{1{,}568\cdot10^{-16}}{1{,}60\cdot10^{-19}}=980\ \text{V}$

Numéricamente coincide con la energía cinética expresada en electronvoltios, y no es casualidad: el electronvoltio se define precisamente como la energía que adquiere un electrón al recorrer una diferencia de potencial de un voltio.



En el dibujo, el electrón entra moviéndose hacia la placa positiva, que es la que está delante de él. El campo eléctrico va de la placa positiva a la negativa, y sobre una carga negativa la fuerza es opuesta al campo, es decir, contraria al movimiento: eso es lo que frena al electrón. Si se invirtieran las placas, la fuerza lo aceleraría.