Ejercicio resuelto de Campo magnético · Física · Aragón · 2024

Las líneas de alta tensión transportan gran cantidad de energía con una corriente relativamente pequeña, minimizando las pérdidas. Se tienen dos cables separados 1,5 m de distancia por los que circula una corriente de 0,8 A.

a) Calcule el módulo de la fuerza por unidad de longitud entre ellos. [0,75 puntos]

b) Haga dos esquemas en los cuales se muestren las fuerzas que actúan sobre los cables en el caso de que las corrientes circulen en el mismo sentido y en el caso de que circulen en sentido contrario. [0,75 puntos]

c) Si se inserta un tercer cable por el que circulan también 0,8 A de corriente entre los dos primeros, pero a 0,4 m de uno de ellos, ¿cuál es la máxima fuerza por unidad de longitud que puede sufrir? ¿En qué sentidos circularán las tres corrientes en este caso? [1 punto]

Dato: permeabilidad magnética del vacío, $\mu_0 = 4 \pi \cdot 10^{-7}\ \text{Wb}/\text{A} \cdot \text{m}$.

$\textbf{a) Calcule el módulo de la fuerza por unidad de longitud entre ellos. [0,75 puntos]}$

Cada cable crea en la posición del otro un campo magnético cuyo módulo, por la ley de Biot y Savart aplicada a un conductor rectilíneo indefinido, vale:

$B_1=\dfrac{\mu_0\,i_1}{2\pi d}$

Sobre el segundo cable, que transporta $i_2$ perpendicularmente a ese campo, actúa la fuerza de Lorentz:

$F=i_2\,l\,B_1$

De las dos expresiones anteriores sale la fuerza por unidad de longitud entre dos conductores paralelos:

$\dfrac{F}{l}=\dfrac{\mu_0\,i_1\,i_2}{2\pi d}$

Se sustituyen los datos en unidades del Sistema Internacional:

$\dfrac{F}{l}=\dfrac{4\pi\cdot10^{-7}\cdot0{,}8\cdot0{,}8}{2\pi\cdot1{,}5}=8{,}53\cdot10^{-8}\ \text{N/m}$

La fuerza por unidad de longitud entre los dos cables es de $8{,}53\cdot10^{-8}\ \text{N/m}$: tan pequeña que no se aprecia en una línea real.

$\textbf{b) Haga dos esquemas en los cuales se muestren las fuerzas que actúan sobre los cables en el caso de que las corrientes circulen en el mismo sentido y en el caso de que circulen en sentido contrario. [0,75 puntos]}$

El sentido de la fuerza lo da la regla de la mano derecha aplicada dos veces: primero al campo que crea cada cable y después al producto vectorial $\vec F=i\,\vec l\times\vec B$.










Con las dos corrientes en el mismo sentido, el campo que crea cada cable en el otro es perpendicular al plano y la fuerza resultante apunta hacia el otro conductor: los cables se atraen.














Con las corrientes en sentidos contrarios, uno de los dos campos cambia de signo y las fuerzas se invierten: los cables se repelen.





En los dos casos las dos fuerzas tienen el mismo módulo y sentidos opuestos, como exige el principio de acción y reacción.

$\textbf{c) Si se inserta un tercer cable por el que circulan también 0,8 A de corriente entre los dos primeros, pero a 0,4 m de uno de ellos, ¿cuál es la máxima fuerza por unidad de longitud que puede sufrir? ¿En qué sentidos circularán las tres corrientes en este caso? [1 punto]}$










El tercer cable recibe una fuerza de cada uno de los otros dos. La resultante es máxima cuando las dos van en el mismo sentido, y eso ocurre si el cable central es atraído por uno y repelido por el otro, es decir, si las dos corrientes exteriores circulan en sentidos contrarios entre sí.





Las distancias del cable central a los otros dos son:

$d_1=0{,}4\ \text{m}\qquad d_2=1{,}5-0{,}4=1{,}1\ \text{m}$

Sumando los módulos de las dos fuerzas por unidad de longitud:

$\dfrac{F}{l}=\dfrac{\mu_0\,i_3\,i_1}{2\pi d_1}+\dfrac{\mu_0\,i_3\,i_2}{2\pi d_2}$

$\dfrac{F}{l}=\dfrac{4\pi\cdot10^{-7}\cdot0{,}8\cdot0{,}8}{2\pi\cdot0{,}4}+\dfrac{4\pi\cdot10^{-7}\cdot0{,}8\cdot0{,}8}{2\pi\cdot1{,}1}$

$\dfrac{F}{l}=3{,}20\cdot10^{-7}+1{,}16\cdot10^{-7}=4{,}36\cdot10^{-7}\ \text{N/m}$

La fuerza por unidad de longitud máxima sobre el cable central es de $4{,}36\cdot10^{-7}\ \text{N/m}$, y se consigue con las dos corrientes exteriores circulando en sentidos opuestos; la del cable central puede ir en cualquiera de los dos sentidos, porque al invertirla las dos fuerzas se invierten a la vez y siguen sumándose.