Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · Aragón · 2024

El planeta Marte tiene dos satélites naturales, Fobos y Deimos. El radio orbital de Fobos es de 12767 km.

a) Obtenga el periodo orbital de Fobos. [0,75 puntos]

b) Utilice la tercera ley de Kepler para obtener el periodo orbital de Deimos, cuyo radio orbital es de 26950 km. [1 punto]

c) Calcule la velocidad de escape de un cohete desde la superficie de Fobos, suponiendo que el satélite es esférico. [0,75 puntos]

Datos: masa de Marte, $M_{\text{Marte}} = 6{,}39 \cdot 10^{23}\ \text{kg}$; radio de Fobos, $R_{\text{Fobos}} = 21\ \text{km}$; masa de Fobos, $M_{\text{Fobos}} = 1{,}08 \cdot 10^{16}\ \text{kg}$; constante de gravitación universal, $G = 6{,}67 \cdot 10^{-11}\ \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{kg}^2$.

$\textbf{a) Obtenga el periodo orbital de Fobos. [0,75 puntos]}$










La única fuerza que actúa sobre Fobos es la atracción gravitatoria de Marte, y como su órbita es circular esa fuerza es la centrípeta. Por la segunda ley de Newton:

$G\dfrac{M_{\text{Marte}}\,M_{\text{Fobos}}}{r^2}=M_{\text{Fobos}}\dfrac{v^2}{r}$

$v=\sqrt{\dfrac{G\,M_{\text{Marte}}}{r}}$





La velocidad de un movimiento circular uniforme se relaciona con el periodo mediante $v=\dfrac{2\pi r}{T}$, y al sustituirla se obtiene la tercera ley de Kepler:

$\dfrac{4\pi^2r^2}{T^2}=\dfrac{G\,M_{\text{Marte}}}{r}\Rightarrow \dfrac{T^2}{r^3}=\dfrac{4\pi^2}{G\,M_{\text{Marte}}}$

$T=\sqrt{\dfrac{4\pi^2r^3}{G\,M_{\text{Marte}}}}$

Se sustituyen los datos en unidades del Sistema Internacional:

$r=12767\ \text{km}=1{,}2767\cdot10^7\ \text{m}$

$T=\sqrt{\dfrac{4\pi^2\left(1{,}2767\cdot10^7\right)^3}{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot6{,}39\cdot10^{23}}}=4{,}39\cdot10^4\ \text{s}$

El periodo orbital de Fobos es de $4{,}39\cdot10^4\ \text{s}$, es decir, $12{,}2\ \text{h}$: Fobos da casi dos vueltas a Marte en un día marciano.

$\textbf{b) Utilice la tercera ley de Kepler para obtener el periodo orbital de Deimos, cuyo radio orbital es de 26950 km. [1 punto]}$

La tercera ley de Kepler dice que el cociente $T^2/r^3$ es el mismo para todos los satélites de un mismo astro, porque solo depende de la masa de este:

$\dfrac{T_D^2}{r_D^3}=\dfrac{T_F^2}{r_F^3}$

Se despeja el periodo de Deimos:

$T_D=T_F\sqrt{\dfrac{r_D^3}{r_F^3}}=T_F\left(\dfrac{r_D}{r_F}\right)^{3/2}$

$T_D=4{,}39\cdot10^4\left(\dfrac{26950}{12767}\right)^{3/2}=1{,}35\cdot10^5\ \text{s}$

El periodo orbital de Deimos es de $1{,}35\cdot10^5\ \text{s}$, o sea $37{,}4\ \text{h}$. Al estar más lejos tarda más, como exige la tercera ley.

$\textbf{c) Calcule la velocidad de escape de un cohete desde la superficie de Fobos, suponiendo que el satélite es esférico. [0,75 puntos]}$

La velocidad de escape es la mínima que hay que comunicar a un cuerpo situado en la superficie para que llegue al infinito con velocidad nula. El campo gravitatorio es conservativo y no hay otras fuerzas, así que la energía mecánica se conserva:

$E_c(R_F)+E_p(R_F)=E_c(\infty)+E_p(\infty)=0$

$\dfrac{1}{2}mv_e^2-G\dfrac{M_{\text{Fobos}}\,m}{R_F}=0$

$v_e=\sqrt{\dfrac{2\,G\,M_{\text{Fobos}}}{R_F}}$

Se sustituyen los datos, con el radio de Fobos en metros:

$R_F=21\ \text{km}=2{,}1\cdot10^4\ \text{m}$

$v_e=\sqrt{\dfrac{2\cdot6{,}67\cdot10^{-11}\cdot1{,}08\cdot10^{16}}{2{,}1\cdot10^4}}=8{,}28\ \text{m/s}$

Bastan $8{,}28\ \text{m/s}$ para escapar de Fobos: un satélite tan pequeño retiene muy poco.