Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2026

La promotora musical estudia la evolución de la función de beneficios netos (en miles de euros) del festival en función de un indicador ($x$) que mide la intensidad de la campaña publicitaria ($x \in [0, 3]$). Se propone el modelo $f(x) = 2x^{3} + bx^{2} + cx + d$. Se sabe que sin campaña (intensidad nula) el beneficio es de 8000 euros, cuando la campaña tiene intensidad 2 el beneficio es de 16.000 euros, y que además en $x = 2$ la función tiene un punto crítico. Calcule los valores de $b$, $c$ y $d$, para que se satisfagan las condiciones del enunciado. Justifique si en $x = 2$ la función tiene un máximo o un mínimo relativo. [5 puntos]

$\textbf{La promotora musical estudia la evolución de la función de beneficios netos (en miles de euros) del festival en función de un indicador } \boldsymbol{(x)}\textbf{ que mide la intensidad de la campaña publicitaria } \boldsymbol{(x\in[0,3])}\textbf{. Se propone el modelo } \boldsymbol{f(x)=2x^{3}+bx^{2}+cx+d}\textbf{. Se sabe que sin campaña (intensidad nula) el beneficio es de 8000 euros, cuando la campaña tiene intensidad 2 el beneficio es de 16.000 euros, y que además en } \boldsymbol{x=2}\textbf{ la función tiene un punto crítico. Calcule los valores de } \boldsymbol{b}\textbf{, } \boldsymbol{c}\textbf{ y } \boldsymbol{d}\textbf{, para que se satisfagan las condiciones del enunciado. Justifique si en } \boldsymbol{x=2}\textbf{ la función tiene un máximo o un mínimo relativo.}\ (5\ \text{puntos})$

Los beneficios están medidos en miles de euros, así que 8000 euros son 8 y 16.000 euros son 16. Cada condición del enunciado se traduce en una ecuación.

Sin campaña el beneficio es de 8000 €, es decir, $f(0)=8$:

$f(0)=2\cdot 0^{3}+b\cdot 0^{2}+c\cdot 0+d=d \Rightarrow d=8$

Con intensidad 2 el beneficio es de 16.000 €, es decir, $f(2)=16$:

$f(2)=2\cdot 2^{3}+b\cdot 2^{2}+2c+d=16+4b+2c+8$

$16+4b+2c+8=16 \Rightarrow 4b+2c=-8 \Rightarrow 2b+c=-4$

En $x=2$ hay un punto crítico, es decir, $f'(2)=0$:

$f'(x)=6x^{2}+2bx+c \Rightarrow f'(2)=24+4b+c=0 \Rightarrow 4b+c=-24$

Se reúnen las dos últimas ecuaciones en un sistema y se resuelve por reducción:

$\begin{cases} 2b+c=-4\\ 4b+c=-24 \end{cases}$

Se resta la primera ecuación de la segunda:

$2b=-20 \Rightarrow b=-10$

$2(-10)+c=-4 \Rightarrow c=-4+20=16$

Por tanto:

$b=-10,\qquad c=16,\qquad d=8 \Rightarrow f(x)=2x^{3}-10x^{2}+16x+8$

Se comprueban las tres condiciones: $f(0)=8$, $f(2)=16-40+32+8=16$ y $f'(2)=24-40+16=0$.

Para clasificar el punto crítico se recurre a la segunda derivada.

$f'(x)=6x^{2}-20x+16 \Rightarrow f''(x)=12x-20$

$f''(2)=12\cdot 2-20=24-20=4>0$

Al ser la segunda derivada positiva en el punto crítico, la función es convexa allí y presenta un mínimo.

Los valores buscados son $b=-10$, $c=16$ y $d=8$, y en $x=2$ la función tiene un mínimo relativo, cuyo valor es $f(2)=16$ miles de euros.