Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

La promotora que organiza el festival está ajustando el presupuesto (en decenas de miles de euros) para la iluminación y el sonido de los conciertos. Estos cálculos se representan mediante una ecuación matricial de la forma $AX + B = C$, siendo

$A = \begin{pmatrix} 4 & 3 \\ 5 & 4 \end{pmatrix}, \qquad B = \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \qquad C = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}.$

La matriz $A$ representa la planificación inicial, $B$ es la matriz de ajustes adicionales, $C$ es la matriz de presupuesto final y $X$ es la matriz de gastos desconocidos. Resuelva la ecuación despejando previamente $X$. [5 puntos]

$\textbf{La promotora que organiza el festival está ajustando el presupuesto (en decenas de miles de euros) para la iluminación y el sonido de los conciertos. Estos cálculos se representan mediante una ecuación matricial de la forma } \boldsymbol{AX+B=C}\textbf{, siendo } \boldsymbol{A=\begin{pmatrix}4&3\\5&4\end{pmatrix}}\textbf{, } \boldsymbol{B=\begin{pmatrix}4&-2\\1&0\end{pmatrix}}\textbf{ y } \boldsymbol{C=\begin{pmatrix}1&1\\2&3\end{pmatrix}}\textbf{. Resuelva la ecuación despejando previamente } \boldsymbol{X}\textbf{.}\ (5\ \text{puntos})$

Se despeja $X$ aplicando las propiedades de las matrices. Como el producto de matrices no es conmutativo, la inversa de $A$ se multiplica por la izquierda, que es el lado por el que $A$ acompaña a $X$.

$AX+B=C \Rightarrow AX=C-B$

$A^{-1}\cdot AX=A^{-1}(C-B) \Rightarrow I\cdot X=A^{-1}(C-B) \Rightarrow X=A^{-1}(C-B)$

Para calcular $X$ se necesitan previamente $C-B$ y $A^{-1}$.

$C-B= \begin{pmatrix}1&1\\2&3\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}4&-2\\1&0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-3&3\\1&3\end{pmatrix}$

Se calcula la matriz inversa de $A$ por el método de los adjuntos.

1) Se calcula $|A|$:

$|A|= \begin{vmatrix}4&3\\5&4\end{vmatrix} =4\cdot 4-3\cdot 5=16-15=1\neq 0$

Al ser el determinante distinto de cero, la matriz $A$ tiene inversa.

2) Se calcula la matriz de los adjuntos y su traspuesta:

$\operatorname{Adj}(A)= \begin{pmatrix}4&-5\\-3&4\end{pmatrix}, \qquad (\operatorname{Adj}(A))^{t}= \begin{pmatrix}4&-3\\-5&4\end{pmatrix}$

3) Se aplica la fórmula:

$A^{-1}=\dfrac{1}{|A|}\cdot(\operatorname{Adj}(A))^{t} =\dfrac{1}{1} \begin{pmatrix}4&-3\\-5&4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4&-3\\-5&4\end{pmatrix}$

Ya se puede calcular la matriz $X$:

$X= \begin{pmatrix}4&-3\\-5&4\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}-3&3\\1&3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4\cdot(-3)+(-3)\cdot 1 & 4\cdot 3+(-3)\cdot 3 \\ (-5)(-3)+4\cdot 1 & (-5)\cdot 3+4\cdot 3 \end{pmatrix}$

$X= \begin{pmatrix}-15&3\\19&-3\end{pmatrix}$

Se comprueba el resultado sustituyendo en la ecuación de partida:

$AX+B= \begin{pmatrix}-3&3\\1&3\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}4&-2\\1&0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1&1\\2&3\end{pmatrix} =C$

La matriz de gastos desconocidos es $X=\begin{pmatrix}-15&3\\19&-3\end{pmatrix}$, expresada en decenas de miles de euros.