Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2026

La promotora del festival, antes de cerrar la contratación de los grupos que formarán parte del cartel, decide realizar una encuesta entre las personas que ya han reservado su sitio en el evento, con el objetivo de conocer a qué tipos de conciertos asistirán.

a) En una muestra aleatoria simple de 400 personas, 260 declaran que acudirán a los conciertos de rock. Calcule un intervalo de confianza al 94 % para la proporción de asistentes que acudirán a los conciertos de rock. Una revista de eventos afirmó que «el 75 % del público acudirá a los conciertos de rock». A partir del intervalo de confianza obtenido, determine si los datos respaldan o ponen en duda esta afirmación. [6 puntos]

b) Determine el tamaño mínimo de muestra necesario para estimar la proporción de asistentes a conciertos de música country, con un nivel de confianza del 94 %, un error máximo del 4 % y sabiendo que, en una muestra piloto, la proporción estimada fue del 25 %. [4 puntos]

$\textbf{a) En una muestra aleatoria simple de 400 personas, 260 declaran que acudirán a los conciertos de rock. Calcule un intervalo de confianza al 94 \% para la proporción de asistentes que acudirán a los conciertos de rock. Una revista de eventos afirmó que «el 75 \% del público acudirá a los conciertos de rock». A partir del intervalo de confianza obtenido, determine si los datos respaldan o ponen en duda esta afirmación.}\ (6\ \text{puntos})$

Se estima una proporción, así que el intervalo de confianza es

$IC=\left(\hat{p}-z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat{p}\,\hat{q}}{n}}\;,\;\hat{p}+z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat{p}\,\hat{q}}{n}}\right)$

Se calcula la proporción muestral:

$\hat{p}=\dfrac{260}{400}=0{,}65,\qquad \hat{q}=1-0{,}65=0{,}35,\qquad n=400$

Se busca el valor crítico. Con un nivel de confianza del 94 \%, $1-\alpha=0{,}94$, luego $\alpha=0{,}06$ y $\alpha/2=0{,}03$:

$P(Z\leq z_{\alpha/2})=1-\dfrac{\alpha}{2}=0{,}97$

En la tabla de la $N(0,1)$ el valor más próximo a $0{,}97$ es $0{,}9699$, que corresponde a $z_{\alpha/2}=1{,}88$.



Se calcula el error o semiamplitud del intervalo:

$E=1{,}88\sqrt{\dfrac{0{,}65\cdot 0{,}35}{400}} =1{,}88\sqrt{0{,}00056875} =1{,}88\cdot 0{,}023848$

$E\approx 0{,}0448$

$IC=(0{,}65-0{,}0448\;;\;0{,}65+0{,}0448)$

El intervalo de confianza al 94 \% para la proporción de asistentes a los conciertos de rock es $(0{,}6052\;;\;0{,}6948)$.

Basta comprobar si la proporción que afirma la revista pertenece al intervalo calculado.

$0{,}75\notin(0{,}6052\;;\;0{,}6948)$

El valor $0{,}75$ queda claramente por encima del extremo superior del intervalo, de modo que los datos ponen en duda la afirmación de la revista: al 94 \% de confianza no hay motivos para pensar que el 75 \% del público vaya a acudir a los conciertos de rock.

$\textbf{b) Determine el tamaño mínimo de muestra necesario para estimar la proporción de asistentes a conciertos de música country, con un nivel de confianza del 94 \%, un error máximo del 4 \% y sabiendo que, en una muestra piloto, la proporción estimada fue del 25 \%.}\ (4\ \text{puntos})$

El error máximo admisible o semiamplitud del intervalo de confianza para una proporción es

$E=z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat{p}\,\hat{q}}{n}}$

Los datos son ahora

$\hat{p}=0{,}25,\qquad \hat{q}=1-0{,}25=0{,}75,\qquad E=0{,}04$

El nivel de confianza sigue siendo del 94 \%, así que el valor crítico es el mismo del apartado anterior, $z_{\alpha/2}=1{,}88$.

Se despeja el tamaño de la muestra de la fórmula del error:

$E^{2}=z_{\alpha/2}^{2}\,\dfrac{\hat{p}\,\hat{q}}{n} \Rightarrow n=\dfrac{z_{\alpha/2}^{2}\,\hat{p}\,\hat{q}}{E^{2}}$

Se sustituyen los valores:

$n\geq\dfrac{1{,}88^{2}\cdot 0{,}25\cdot 0{,}75}{0{,}04^{2}} =\dfrac{3{,}5344\cdot 0{,}1875}{0{,}0016} =\dfrac{0{,}6627}{0{,}0016}$

$n\geq 414{,}1875$

El tamaño de la muestra tiene que ser un número entero y la desigualdad obliga a tomar el entero inmediatamente superior: con 414 personas el error superaría el 4 \% admitido.

El tamaño mínimo de la muestra es de 415 personas.