Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2026

En la librería, durante una semana, se ofrecen tres promociones: descuento en novelas (A), descuento en manuales (B) y un vale para accesorios (C). De cada 1000 clientes de la librería, 300 reciben la promoción A, el 50 % recibe la promoción B y el resto recibe la promoción C. Se sabe, además, que la probabilidad de que un cliente realice una compra esa semana es 0,6 si ha recibido la promoción A. Por otro lado, se conoce que el 80 % de los clientes que han recibido la promoción B y el 70 % de los que han recibido la promoción C realizan una compra durante esa semana. Se elige al azar un cliente de la librería y se sabe que ha realizado una compra esa semana. Calcule la probabilidad de que dicho cliente hubiera recibido la promoción A. [5 puntos]

$\textbf{En la librería, durante una semana, se ofrecen tres promociones: descuento en novelas (A), descuento en manuales (B) y un vale para accesorios (C). De cada 1000 clientes de la librería, 300 reciben la promoción A, el 50 \% recibe la promoción B y el resto recibe la promoción C. Se sabe, además, que la probabilidad de que un cliente realice una compra esa semana es 0,6 si ha recibido la promoción A. Por otro lado, se conoce que el 80 \% de los clientes que han recibido la promoción B y el 70 \% de los que han recibido la promoción C realizan una compra durante esa semana. Se elige al azar un cliente de la librería y se sabe que ha realizado una compra esa semana. Calcule la probabilidad de que dicho cliente hubiera recibido la promoción A.}\ (5\ \text{puntos})$

Se nombran los sucesos:

$A$ = el cliente ha recibido la promoción A,

$B$ = el cliente ha recibido la promoción B,

$C$ = el cliente ha recibido la promoción C,

$M$ = el cliente realiza una compra esa semana.

De cada 1000 clientes, 300 reciben la promoción A, luego $P(A)=\dfrac{300}{1000}=0{,}30$. La promoción B la recibe el 50 \%, $P(B)=0{,}50$, y el resto recibe la C:

$P(C)=1-0{,}30-0{,}50=0{,}20$

Las tres promociones forman un sistema completo de sucesos. Los datos restantes son $P(M/A)=0{,}60$, $P(M/B)=0{,}80$ y $P(M/C)=0{,}70$. Se ordena todo en un diagrama de árbol.



Se calcula primero la probabilidad de que un cliente realice una compra aplicando el teorema de la probabilidad total.

$P(M)=P(A)\,P(M/A)+P(B)\,P(M/B)+P(C)\,P(M/C)$

$P(M)=0{,}30\cdot 0{,}60+0{,}50\cdot 0{,}80+0{,}20\cdot 0{,}70$

$P(M)=0{,}18+0{,}40+0{,}14=0{,}72$

Se pide una probabilidad a posteriori, de modo que se aplica el teorema de Bayes.

$P(A/M)=\dfrac{P(A)\,P(M/A)}{P(M)} =\dfrac{0{,}30\cdot 0{,}60}{0{,}72} =\dfrac{0{,}18}{0{,}72}$

$P(A/M)=\dfrac{1}{4}=0{,}25$

Sabiendo que el cliente ha realizado una compra esa semana, la probabilidad de que hubiera recibido la promoción A es $0{,}25$.