Ejercicio resuelto de Análisis · Matemáticas CCSS · Aragón · 2026

En la librería se ha estudiado el beneficio semanal (en cientos de euros) en función del tiempo ($x$) (en días) transcurrido desde el inicio de una campaña promocional, y se ha modelizado por la función:

$B(x) = 3x^{2} + ax + 1$

Se sabe que el beneficio total acumulado durante los dos primeros días de la campaña ha sido de 3000 euros, lo que se expresa mediante la condición:

$\displaystyle\int_{0}^{2} B(x)\,\mathrm{d}x = 30$

Determine el valor del parámetro $a$. [5 puntos]

$\textbf{En la librería se ha estudiado el beneficio semanal (en cientos de euros) en función del tiempo } \boldsymbol{(x)}\textbf{ (en días) transcurrido desde el inicio de una campaña promocional, y se ha modelizado por la función } \boldsymbol{B(x)=3x^{2}+ax+1}\textbf{. Se sabe que el beneficio total acumulado durante los dos primeros días de la campaña ha sido de 3000 euros, lo que se expresa mediante la condición } \boldsymbol{\displaystyle\int_{0}^{2} B(x)\,dx=30}\textbf{. Determine el valor del parámetro } \boldsymbol{a}\textbf{.}\ (5\ \text{puntos})$

La condición del enunciado es una integral definida, así que se calcula primero una primitiva de $B(x)$ integrando término a término.

$\int\left(3x^{2}+ax+1\right)dx =3\cdot\dfrac{x^{3}}{3}+a\cdot\dfrac{x^{2}}{2}+x =x^{3}+\dfrac{a}{2}x^{2}+x$

Haciendo uso de la regla de Barrow:

$\int_{0}^{2} B(x)\,dx =\left[x^{3}+\dfrac{a}{2}x^{2}+x\right]_{0}^{2}$

$=\left(2^{3}+\dfrac{a}{2}\cdot 2^{2}+2\right)-\left(0^{3}+\dfrac{a}{2}\cdot 0^{2}+0\right) =8+2a+2$

$\int_{0}^{2} B(x)\,dx=2a+10$

Se impone ahora la condición del enunciado y se despeja el parámetro:

$2a+10=30 \Rightarrow 2a=20 \Rightarrow a=10$

Se comprueba el resultado con $B(x)=3x^{2}+10x+1$:

$\int_{0}^{2}\left(3x^{2}+10x+1\right)dx =\left[x^{3}+5x^{2}+x\right]_{0}^{2} =8+20+2=30$

El valor del parámetro es $a=10$, que en efecto corresponde a un beneficio acumulado de 30 cientos de euros, es decir, de 3.000 €, durante los dos primeros días de la campaña.