Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas CCSS

Durante una semana en la librería se aplicó un descuento del 10 % sobre el precio original de cada artículo. En esa semana, un cliente compró una novela, un cuaderno y una mochila, y pagó en total 117 euros después del descuento. Antes del descuento, el precio del cuaderno era la cuarta parte del precio de la novela y el precio de la mochila era el doble del precio de la novela. Determine el precio original de cada uno de los tres artículos. [5 puntos]

$\textbf{Durante una semana en la librería se aplicó un descuento del 10 \% sobre el precio original de cada artículo. En esa semana, un cliente compró una novela, un cuaderno y una mochila, y pagó en total 117 euros después del descuento. Antes del descuento, el precio del cuaderno era la cuarta parte del precio de la novela y el precio de la mochila era el doble del precio de la novela. Determine el precio original de cada uno de los tres artículos.}\ (5\ \text{puntos})$

Se llama $x$ al precio original de la novela, $y$ al del cuaderno y $z$ al de la mochila, los tres en euros.

Con un descuento del 10 \% el cliente paga el 90 \% del precio original, y en total ha pagado 117 €:

$0{,}9\,(x+y+z)=117$

El precio del cuaderno era la cuarta parte del de la novela:

$y=\dfrac{x}{4}$

El precio de la mochila era el doble del de la novela:

$z=2x$

Se reúnen las tres ecuaciones en un sistema:

$\begin{cases} 0{,}9\,(x+y+z)=117\\ y=\dfrac{x}{4}\\ z=2x \end{cases}$

De la primera ecuación se obtiene la suma de los tres precios originales:

$x+y+z=\dfrac{117}{0{,}9}=130$

Se sustituyen las dos últimas ecuaciones en esta:

$x+\dfrac{x}{4}+2x=130$

Se reduce a común denominador:

$\dfrac{4x+x+8x}{4}=130 \Rightarrow \dfrac{13x}{4}=130 \Rightarrow 13x=520 \Rightarrow x=40$

$y=\dfrac{40}{4}=10, \qquad z=2\cdot 40=80$

Se comprueba el resultado: $40+10+80=130$ y $0{,}9\cdot 130=117$ €.

Los precios originales eran de $40\ \text{€}$ la novela, $10\ \text{€}$ el cuaderno y $80\ \text{€}$ la mochila.