Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2026

La librería quiere obtener información para prever la demanda y planificar mejor los pedidos. Para ello se toma una muestra aleatoria simple de 100 clientes y se observa que 52 de ellos realizan compras online al menos una vez al mes.

a) A partir de dicha muestra, se desea estimar la proporción de clientes de la librería que realizan compras online al menos una vez al mes. Calcule un intervalo de confianza del 96 % para dicha proporción. A la vista del intervalo obtenido, razone si hay motivos para dudar que la proporción real de clientes que realizan compras online al menos una vez al mes es del 65 %. Justifique su respuesta. [5 puntos]

b) Suponga ahora que la proporción real de clientes que realizan compras online al menos una vez al mes es igual a la estimada en la muestra. Si se seleccionan 10 clientes al azar con reemplazamiento, calcule la probabilidad de que exactamente 6 de ellos realicen compras online al menos una vez al mes. [5 puntos]

$\textbf{a) A partir de dicha muestra, se desea estimar la proporción de clientes de la librería que realizan compras online al menos una vez al mes. Calcule un intervalo de confianza del 96 \% para dicha proporción. A la vista del intervalo obtenido, razone si hay motivos para dudar que la proporción real de clientes que realizan compras online al menos una vez al mes es del 65 \%. Justifique su respuesta.}\ (5\ \text{puntos})$

Se estima una proporción, así que el intervalo de confianza es

$IC=\left(\hat{p}-z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat{p}\,\hat{q}}{n}}\;,\;\hat{p}+z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat{p}\,\hat{q}}{n}}\right)$

Se calcula la proporción muestral:

$\hat{p}=\dfrac{52}{100}=0{,}52,\qquad \hat{q}=1-0{,}52=0{,}48,\qquad n=100$

Se busca el valor crítico. Con un nivel de confianza del 96 \%, $1-\alpha=0{,}96$, luego $\alpha=0{,}04$ y $\alpha/2=0{,}02$:

$P(Z\leq z_{\alpha/2})=1-\dfrac{\alpha}{2}=0{,}98$

En la tabla de la $N(0,1)$ el valor más próximo a $0{,}98$ es $0{,}9798$, que corresponde a $z_{\alpha/2}=2{,}05$.



Se calcula el error o semiamplitud del intervalo:

$E=2{,}05\sqrt{\dfrac{0{,}52\cdot 0{,}48}{100}} =2{,}05\sqrt{0{,}002496} =2{,}05\cdot 0{,}049960$

$E\approx 0{,}1024$

$IC=(0{,}52-0{,}1024\;;\;0{,}52+0{,}1024)$

El intervalo de confianza al 96 \% para la proporción de clientes que compran online al menos una vez al mes es $(0{,}4176\;;\;0{,}6224)$.

Basta comprobar si la proporción propuesta pertenece al intervalo calculado.

$0{,}65\notin(0{,}4176\;;\;0{,}6224)$

El valor $0{,}65$ queda por encima del extremo superior del intervalo, así que sí hay motivos para dudar de esa afirmación: con los datos de la muestra y un 96 \% de confianza, no es razonable sostener que la proporción real de clientes que compran online al menos una vez al mes sea del 65 \%.

$\textbf{b) Suponga ahora que la proporción real de clientes que realizan compras online al menos una vez al mes es igual a la estimada en la muestra. Si se seleccionan 10 clientes al azar con reemplazamiento, calcule la probabilidad de que exactamente 6 de ellos realicen compras online al menos una vez al mes.}\ (5\ \text{puntos})$

Se llama $X$ a la variable que cuenta cuántos de los 10 clientes elegidos compran online al menos una vez al mes. Al hacerse la elección con reemplazamiento, las diez extracciones son independientes y la probabilidad de éxito se mantiene constante e igual a la proporción de la muestra, $0{,}52$. Se trata, por tanto, de una distribución binomial:

$X\sim B(10\,;0{,}52)$

$P(X=k)=\binom{10}{k}\,0{,}52^{k}\,0{,}48^{\,10-k}$

Se pide la probabilidad del suceso $X=6$.

$P(X=6)=\binom{10}{6}\,0{,}52^{6}\,0{,}48^{4}$

Se calcula el número combinatorio:

$\binom{10}{6}=\dfrac{10!}{6!\,4!}=\dfrac{10\cdot 9\cdot 8\cdot 7}{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}=210$

Se sustituyen los valores:

$P(X=6)=210\cdot 0{,}019771\cdot 0{,}053084$

$P(X=6)\approx 0{,}2204$

La probabilidad de que exactamente 6 de los 10 clientes elegidos compren online al menos una vez al mes es $0{,}2204$.