Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2026

En la librería se ha observado que un aumento en el precio del libro en papel puede provocar un aumento de las descargas ilegales. Para estudiar este comportamiento, se considera la siguiente función:

$D(x) = -4x^{3} + 36x^{2} + 864x + 400$

que aproxima el número de descargas ilegales en función del aumento de precio ($x$) (en euros) sobre un precio base de 10 euros, con $2 \leq x \leq 15$.

a) Calcule el número de descargas ilegales para aumentos del precio de 2 y de 15 euros. Estudie el crecimiento y decrecimiento de la función $D(x)$ en $2 \leq x \leq 15$. Determine los valores mínimo y máximo de descargas ilegales y el precio final en el que se alcanzan, indicando si se trata de extremos relativos y/o absolutos. [8 puntos]

b) Calcule, si existen, los puntos de inflexión de $D(x)$. Estudie la curvatura (concavidad/convexidad) de la función en el intervalo $2 \leq x \leq 15$. [2 puntos]

$\textbf{a) Calcule el número de descargas ilegales para aumentos del precio de 2 y de 15 euros. Estudie el crecimiento y decrecimiento de la función } \boldsymbol{D(x)}\textbf{ en } \boldsymbol{2\leq x\leq 15}\textbf{. Determine los valores mínimo y máximo de descargas ilegales y el precio final en el que se alcanzan, indicando si se trata de extremos relativos y/o absolutos.}\ (8\ \text{puntos})$

Se empieza evaluando la función en los dos extremos del intervalo.

$D(2)=-4\cdot 2^{3}+36\cdot 2^{2}+864\cdot 2+400=-32+144+1728+400=2240$

$D(15)=-4\cdot 15^{3}+36\cdot 15^{2}+864\cdot 15+400=-13\,500+8100+12\,960+400=7960$

Para estudiar el crecimiento se deriva la función y se iguala a cero en busca de los puntos críticos.

$D'(x)=-12x^{2}+72x+864=-12\left(x^{2}-6x-72\right)$

$D'(x)=0 \Rightarrow x^{2}-6x-72=0 \Rightarrow x=\dfrac{6\pm\sqrt{(-6)^{2}+4\cdot 72}}{2} =\dfrac{6\pm\sqrt{324}}{2} =\dfrac{6\pm 18}{2}$

$\begin{cases}x=12\\x=-6\end{cases}$

Se descarta la solución $x=-6$, porque un aumento de precio no puede ser negativo y, además, no pertenece al intervalo $[2,15]$.

Se estudia el signo de la derivada a ambos lados de $x=12$, dentro del intervalo:

$\begin{cases} \text{Si } x=3,\quad D'(3)=-12(9-18-72)=-12\cdot(-81)>0 \\ \text{Si } x=13,\quad D'(13)=-12(169-78-72)=-12\cdot 19<0 \end{cases}$

La función crece en $[2,12)$ y decrece en $(12,15]$.



Como la función pasa de crecer a decrecer en $x=12$, ahí presenta un máximo relativo.

$D(12)=-4\cdot 12^{3}+36\cdot 12^{2}+864\cdot 12+400=-6912+5184+10\,368+400=9040$

Al ser $D$ continua en el intervalo cerrado $[2,15]$, sus extremos absolutos están entre los puntos críticos y los bordes del intervalo. Se comparan los tres valores calculados:

$D(2)=2240,\qquad D(12)=9040,\qquad D(15)=7960$

El mínimo se alcanza en $x=2$ y el máximo en $x=12$. Como el enunciado pide el precio final y $x$ es el aumento sobre un precio base de 10 euros, los precios finales son:

$10+2=12\ \text{€} \qquad\text{y}\qquad 10+12=22\ \text{€}$

El número mínimo de descargas ilegales es de 2240 y se alcanza con un aumento de 2 €, es decir, con un precio final de 12 €: es un mínimo absoluto, pero no relativo, porque se alcanza en el extremo del intervalo y no en un punto donde la derivada se anule. El número máximo de descargas ilegales es de 9040 y se alcanza con un aumento de 12 €, es decir, con un precio final de 22 €: ahí el máximo es a la vez relativo y absoluto.

$\textbf{b) Calcule, si existen, los puntos de inflexión de } \boldsymbol{D(x)}\textbf{. Estudie la curvatura (concavidad/convexidad) de la función en el intervalo } \boldsymbol{2\leq x\leq 15}\textbf{.}\ (2\ \text{puntos})$

Para estudiar la curvatura se calcula la segunda derivada y se iguala a cero.

$D'(x)=-12x^{2}+72x+864 \Rightarrow D''(x)=-24x+72$

$D''(x)=0 \Rightarrow -24x+72=0 \Rightarrow x=3$

Se estudia el signo de la segunda derivada a ambos lados de $x=3$, dentro del intervalo $[2,15]$.

$\begin{cases} \text{Si } x=2,\quad D''(2)=-48+72=24>0 \\ \text{Si } x=4,\quad D''(4)=-96+72=-24<0 \end{cases}$

$\begin{array}{c|cc} & [2,3) & (3,15] \\ \hline D''(x) & + & - \\ D(x) & \cup & \cap \end{array}$

La función es convexa $(\cup)$ en $[2,3)$ y cóncava $(\cap)$ en $(3,15]$. Como la segunda derivada cambia de signo en $x=3$, ahí hay un punto de inflexión.

$D(3)=-4\cdot 27+36\cdot 9+864\cdot 3+400=-108+324+2592+400=3208$

La función tiene un único punto de inflexión, $(3,3208)$, donde pasa de convexa a cóncava: a partir de un aumento de 3 € las descargas ilegales siguen creciendo, pero cada vez más despacio.