Ejercicio resuelto de Programación lineal · Matemáticas CCSS

Una librería organiza semanalmente sus pedidos en dos tipos de lotes: lotes de *Novedades* y lotes de *Reposición*. Cada lote de *Novedades* requiere 3 horas de trabajo en el departamento de recepción y 1 hora en el de etiquetado, mientras que cada lote de *Reposición* requiere 1 hora en recepción y 2 horas en etiquetado. Cada departamento dispone como máximo de 100 horas semanales para realizar cada una de estas tareas. La librería obtiene un beneficio de 500 euros por cada lote de *Novedades* y de 400 euros por cada lote de *Reposición*. Además, para garantizar una actividad comercial mínima, la librería se compromete a preparar al menos 40 lotes en total cada semana (sumando ambos tipos).

a) Determine cuántos lotes de *Novedades* y cuántos de *Reposición* debe preparar la librería semanalmente para maximizar el beneficio, cumpliendo todas las restricciones del enunciado, así como el beneficio máximo que puede alcanzar. [8 puntos]

b) Razone si preparar 10 lotes de *Novedades* y 40 de *Reposición* semanalmente satisface las restricciones del enunciado. En caso afirmativo, ¿es una solución óptima? [2 puntos]

$\textbf{a) Determine cuántos lotes de Novedades y cuántos de Reposición debe preparar la librería semanalmente para maximizar el beneficio, cumpliendo todas las restricciones del enunciado, así como el beneficio máximo que puede alcanzar.}\ (8\ \text{puntos})$

Se llama $x$ al número de lotes de Novedades e $y$ al número de lotes de Reposición que se preparan cada semana.

Se ordena la información del enunciado en una tabla.

$$	$\text{Horas de recepción}$	$\text{Horas de etiquetado}$	$\text{Beneficio (€)}$
Lotes de Novedades (x)	3x	x	500x
Lotes de Reposición (y)	y	2y	400y
Totales	3x+y	x+2y	500x+400y

La función objetivo que se desea maximizar es el beneficio semanal:

$B(x,y)=500x+400y$

Las restricciones del problema son:

El departamento de recepción dispone como máximo de 100 horas semanales $\Rightarrow$ $3x+y\leq 100$.

El departamento de etiquetado dispone como máximo de 100 horas semanales $\Rightarrow$ $x+2y\leq 100$.

Se preparan al menos 40 lotes en total $\Rightarrow$ $x+y\geq 40$.

El número de lotes no puede ser negativo $\Rightarrow$ $x\geq 0;\ y\geq 0$.

Se reúnen todas las restricciones en un sistema de inecuaciones:

$\begin{cases} 3x+y\leq 100\\ x+2y\leq 100\\ x+y\geq 40\\ x\geq 0;\ y\geq 0 \end{cases}$

Para representar la región factible se dibujan primero las rectas que la delimitan. La región factible es la zona coloreada en azul.



Las coordenadas de los vértices se obtienen resolviendo los sistemas de ecuaciones correspondientes.

Vértice $A$:

$\begin{cases}x+y=40\\x=0\end{cases} \Rightarrow y=40 \Rightarrow A(0,40)$

Vértice $B$:

$\begin{cases}x+y=40\\3x+y=100\end{cases}$

Se resta la primera ecuación de la segunda:

$2x=60 \Rightarrow x=30 \Rightarrow 30+y=40 \Rightarrow y=10 \Rightarrow B(30,10)$

Vértice $C$:

$\begin{cases}3x+y=100\\x+2y=100\end{cases}$

De la primera ecuación se despeja $y=100-3x$ y se sustituye en la segunda:

$x+2(100-3x)=100 \Rightarrow x+200-6x=100 \Rightarrow -5x=-100 \Rightarrow x=20$

$y=100-3\cdot 20=40 \Rightarrow C(20,40)$

Vértice $D$:

$\begin{cases}x+2y=100\\x=0\end{cases} \Rightarrow 2y=100 \Rightarrow y=50 \Rightarrow D(0,50)$

Se valora la función beneficio $B(x,y)=500x+400y$ en cada uno de los vértices en busca del máximo.

$A(0,40) \Rightarrow B(0,40)=400\cdot 40=16\,000$

$B(30,10) \Rightarrow B(30,10)=500\cdot 30+400\cdot 10=15\,000+4000=19\,000$

$C(20,40) \Rightarrow B(20,40)=500\cdot 20+400\cdot 40=10\,000+16\,000=26\,000$

$D(0,50) \Rightarrow B(0,50)=400\cdot 50=20\,000$

El beneficio máximo se alcanza en el vértice $C(20,40)$, y las dos cantidades son números enteros de lotes, como exige el problema.

La librería debe preparar 20 lotes de Novedades y 40 lotes de Reposición cada semana, con lo que alcanza un beneficio máximo de $26\,000\ \text{€}$.

$\textbf{b) Razone si preparar 10 lotes de Novedades y 40 de Reposición semanalmente satisface las restricciones del enunciado. En caso afirmativo, ¿es una solución óptima?}\ (2\ \text{puntos})$

Se sustituye el punto $(10,40)$ en cada una de las restricciones.

$\begin{cases} 3\cdot 10+40=30+40=70\leq 100 \\ 10+2\cdot 40=10+80=90\leq 100 \\ 10+40=50\geq 40 \\ 10\geq 0;\ 40\geq 0 \end{cases}$

Las cinco restricciones se cumplen, y las tres primeras con desigualdad estricta, de modo que $(10,40)$ es un punto interior de la región factible.

Se calcula el beneficio que proporciona:

$B(10,40)=500\cdot 10+400\cdot 40=5000+16\,000=21\,000$

$21\,000<26\,000$

Preparar 10 lotes de Novedades y 40 de Reposición sí satisface todas las restricciones, pero no es una solución óptima: da un beneficio de $21\,000\ \text{€}$, menor que los $26\,000\ \text{€}$ del vértice $C(20,40)$. De hecho, ningún punto interior puede serlo, porque el máximo de una función lineal se alcanza siempre en la frontera de la región factible.