Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2025

Una ONG de Aragón pretende organizar turnos de voluntarios para colaborar con los afectados de una catástrofe. Basándose en experiencias previas, estiman que el 25 % de los aragoneses estarían interesados en participar. No obstante, para tener una estimación más precisa han decidido realizar una encuesta entre la población aragonesa. ¿Cuántas personas deben encuestar como mínimo para estimar la proporción de quienes estarían dispuestos a colaborar con la ONG, con un error máximo del 5 % y con un nivel de confianza del 94 %? [5 puntos]

$\textbf{Una ONG de Aragón pretende organizar turnos de voluntarios para colaborar con los afectados de una catástrofe. Basándose en experiencias previas, estiman que el 25 \% de los aragoneses estarían interesados en participar. No obstante, para tener una estimación más precisa han decidido realizar una encuesta entre la población aragonesa. ¿Cuántas personas deben encuestar como mínimo para estimar la proporción de quienes estarían dispuestos a colaborar con la ONG, con un error máximo del 5 \% y con un nivel de confianza del 94 \%?}\ (5\ \text{puntos})$

Se estima una proporción, así que el error máximo admisible o semiamplitud del intervalo de confianza es

$E=z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat{p}\,\hat{q}}{n}}$

Los datos del enunciado son

$\hat{p}=0{,}25,\qquad \hat{q}=1-0{,}25=0{,}75,\qquad E=0{,}05$

Se busca el valor crítico. Con un nivel de confianza del 94 \%, $1-\alpha=0{,}94$, luego $\alpha=0{,}06$ y $\alpha/2=0{,}03$:

$P(Z\leq z_{\alpha/2})=1-\dfrac{\alpha}{2}=0{,}97$

En la tabla de la $N(0,1)$ el valor más próximo a $0{,}97$ es $0{,}9699$, que corresponde a $z_{\alpha/2}=1{,}88$.



Se despeja el tamaño de la muestra de la fórmula del error:

$E=z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat{p}\,\hat{q}}{n}} \Rightarrow E^{2}=z_{\alpha/2}^{2}\,\dfrac{\hat{p}\,\hat{q}}{n} \Rightarrow n=\dfrac{z_{\alpha/2}^{2}\,\hat{p}\,\hat{q}}{E^{2}}$

Se sustituyen los valores:

$n\geq\dfrac{1{,}88^{2}\cdot 0{,}25\cdot 0{,}75}{0{,}05^{2}} =\dfrac{3{,}5344\cdot 0{,}1875}{0{,}0025} =\dfrac{0{,}6627}{0{,}0025}$

$n\geq 265{,}08$

El tamaño de la muestra tiene que ser un número entero y, además, la desigualdad obliga a tomar el entero inmediatamente superior: con 265 personas el error superaría el 5 \% admitido.

La ONG debe encuestar como mínimo a 266 personas.