Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2025

Justifique la existencia (o ausencia) de asíntotas horizontales, verticales y oblicuas para la función $f(x) = \dfrac{x^{2} + 2}{x - 2}$. En caso de que existan, indique sus respectivas ecuaciones. [5 puntos]

$\textbf{Justifique la existencia (o ausencia) de asíntotas horizontales, verticales y oblicuas para la función } \boldsymbol{f(x)=\dfrac{x^{2}+2}{x-2}}\textbf{. En caso de que existan, indique sus respectivas ecuaciones.}\ (5\ \text{puntos})$

Es una función racional; su dominio lo forman todos los números reales salvo los que anulan el denominador.

$x-2=0 \Rightarrow x=2 \Rightarrow \operatorname{Dom} f(x)=\mathbb{R}-\{2\}$

Asíntotas verticales. Solo pueden estar en los puntos que no pertenecen al dominio, así que se calcula el límite en $x=2$.

$\lim_{x\to 2}\dfrac{x^{2}+2}{x-2}=\dfrac{2^{2}+2}{0}=\dfrac{6}{0}=\infty$

Se estudian los límites laterales para conocer el comportamiento a cada lado:

$\lim_{x\to 2^{-}}\dfrac{x^{2}+2}{x-2}=\dfrac{6}{0^{-}}=-\infty, \qquad \lim_{x\to 2^{+}}\dfrac{x^{2}+2}{x-2}=\dfrac{6}{0^{+}}=+\infty$

La recta $x=2$ es asíntota vertical.

Asíntotas horizontales. Se calcula el límite de la función en el infinito. El grado del numerador es mayor que el del denominador.

$\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{x^{2}+2}{x-2}=\pm\infty$

Como el límite no es un número real, la función no tiene asíntota horizontal.

Asíntotas oblicuas. Se buscan de la forma $y=mx+n$, y pueden existir porque el grado del numerador supera en exactamente una unidad al del denominador.

$m=\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{f(x)}{x} =\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{x^{2}+2}{x^{2}-2x} =1$

$n=\lim_{x\to\pm\infty}\bigl(f(x)-mx\bigr) =\lim_{x\to\pm\infty}\left(\dfrac{x^{2}+2}{x-2}-x\right) =\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{x^{2}+2-x^{2}+2x}{x-2}$

$n=\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{2x+2}{x-2}=2$

La recta $y=x+2$ es asíntota oblicua, tanto en $+\infty$ como en $-\infty$.

El mismo resultado se obtiene efectuando la división de los polinomios:

$\dfrac{x^{2}+2}{x-2}=x+2+\dfrac{6}{x-2}$

pues el resto $\dfrac{6}{x-2}$ tiende a cero cuando $x$ tiende a infinito.



La función tiene una asíntota vertical de ecuación $x=2$ y una asíntota oblicua de ecuación $y=x+2$; no tiene asíntota horizontal, porque una función no puede tener a la vez asíntota horizontal y oblicua en la misma rama.