Ejercicio resuelto de Análisis · Matemáticas CCSS · Aragón · 2025

Una finca está delimitada por un río cuyo curso puede describirse mediante la ecuación $y = (x - 2)^{2} + 1$ y por un camino que tiene como dirección la ecuación $y = 2x$ (véase la figura para mayor claridad). Suponiendo que tanto el eje $x$ como el eje $y$ se miden en kilómetros, calcule el área de la finca. Sabiendo que en la zona la hectárea se paga a 3000 €, calcule el precio de la finca.

Nota: 1 km$^{2}$ = 100 hectáreas.



[5 puntos]

$\textbf{Una finca está delimitada por un río cuyo curso puede describirse mediante la ecuación } \boldsymbol{y=(x-2)^{2}+1}\textbf{ y por un camino que tiene como dirección la ecuación } \boldsymbol{y=2x}\textbf{. Suponiendo que tanto el eje } \boldsymbol{x}\textbf{ como el eje } \boldsymbol{y}\textbf{ se miden en kilómetros, calcule el área de la finca. Sabiendo que en la zona la hectárea se paga a 3000 €, calcule el precio de la finca.}\ (5\ \text{puntos})$

La finca es el recinto encerrado entre la parábola y la recta, así que su área es la integral definida de la diferencia de las dos funciones entre sus puntos de corte.

Se calculan primero los puntos de corte igualando las dos ecuaciones.

$(x-2)^{2}+1=2x \Rightarrow x^{2}-4x+4+1=2x \Rightarrow x^{2}-6x+5=0$

$x=\dfrac{6\pm\sqrt{(-6)^{2}-4\cdot 5}}{2} =\dfrac{6\pm\sqrt{36-20}}{2} =\dfrac{6\pm 4}{2} \Rightarrow \begin{cases}x=1\\x=5\end{cases}$

Entre $x=1$ y $x=5$ el camino queda por encima del río, como se aprecia en la figura del enunciado; se comprueba en un punto interior:

$\text{Si } x=3,\quad 2\cdot 3=6 \ \text{ y } \ (3-2)^{2}+1=2 \Rightarrow 6>2$

Por tanto, el área es

$S=\int_{1}^{5}\Bigl(2x-\left[(x-2)^{2}+1\right]\Bigr)dx$

Se desarrolla el integrando:

$2x-\left(x^{2}-4x+5\right)=-x^{2}+6x-5$

Se calcula una primitiva integrando término a término:

$\int(-x^{2}+6x-5)\,dx=-\dfrac{x^{3}}{3}+3x^{2}-5x$

Haciendo uso de la regla de Barrow:

$S=\left[-\dfrac{x^{3}}{3}+3x^{2}-5x\right]_{1}^{5} =\left(-\dfrac{125}{3}+75-25\right)-\left(-\dfrac{1}{3}+3-5\right)$

$S=\left(-\dfrac{125}{3}+50\right)-\left(-\dfrac{1}{3}-2\right) =-\dfrac{124}{3}+52 =\dfrac{-124+156}{3}$

$S=\dfrac{32}{3}\ \text{km}^{2}\approx 10{,}67\ \text{km}^{2}$

Se pasa el resultado a hectáreas con la equivalencia que da el enunciado, 1 km$^{2}$ = 100 hectáreas:

$\dfrac{32}{3}\cdot 100=\dfrac{3200}{3}\ \text{ha}\approx 1066{,}67\ \text{ha}$

Por último, se multiplica por el precio de la hectárea:

$P=3000\cdot\dfrac{3200}{3}=1000\cdot 3200=3\,200\,000$

El área de la finca es $\dfrac{32}{3}\ \text{km}^{2}\approx 10{,}67\ \text{km}^{2}$, es decir, unas 1.066,67 hectáreas, y su precio asciende a $3\,200\,000\ \text{€}$.