Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

Determine el orden de la matriz $X$ para que la ecuación matricial $3AX - B = C$ esté bien planteada, siendo

$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}, \qquad B = \begin{pmatrix} 3 & 6 & -3 \\ 3 & 0 & 3 \end{pmatrix}, \qquad C = \begin{pmatrix} 0 & 3 & 6 \\ 6 & 9 & -6 \end{pmatrix}.$

Resuelva la ecuación matricial despejando previamente $X$. [5 puntos]

$\textbf{Determine el orden de la matriz } \boldsymbol{X}\textbf{ para que la ecuación matricial } \boldsymbol{3AX-B=C}\textbf{ esté bien planteada, siendo } \boldsymbol{A=\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}}\textbf{, } \boldsymbol{B=\begin{pmatrix}3&6&-3\\3&0&3\end{pmatrix}}\textbf{ y } \boldsymbol{C=\begin{pmatrix}0&3&6\\6&9&-6\end{pmatrix}}\textbf{. Resuelva la ecuación matricial despejando previamente } \boldsymbol{X}\textbf{.}\ (5\ \text{puntos})$

Para que la resta $3AX-B$ tenga sentido, el producto $3AX$ debe tener el mismo orden que $B$, que es $2\times 3$. Como $A$ es de orden $2\times 2$, en el producto $A\cdot X$ la matriz $X$ ha de tener 2 filas, y para que el resultado tenga 3 columnas, $X$ ha de tener 3 columnas.

La matriz $X$ es de orden $2\times 3$.

Se despeja $X$ aplicando las propiedades de las matrices.

$3AX-B=C \Rightarrow 3AX=C+B$

$A^{-1}\cdot 3AX=A^{-1}(C+B) \Rightarrow 3X=A^{-1}(C+B) \Rightarrow X=\dfrac{1}{3}A^{-1}(C+B)$

Para calcular $X$ se necesitan previamente $C+B$ y $A^{-1}$.

$C+B= \begin{pmatrix}0&3&6\\6&9&-6\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}3&6&-3\\3&0&3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3&9&3\\9&9&-3\end{pmatrix}$

Se calcula la matriz inversa de $A$ por el método de los adjuntos.

1) Se calcula $|A|$:

$|A|= \begin{vmatrix}2&1\\1&1\end{vmatrix} =2\cdot 1-1\cdot 1=1\neq 0$

Al ser el determinante distinto de cero, la matriz $A$ tiene inversa.

2) Se calcula la matriz de los adjuntos y su traspuesta:

$\operatorname{Adj}(A)= \begin{pmatrix}1&-1\\-1&2\end{pmatrix}, \qquad (\operatorname{Adj}(A))^{t}= \begin{pmatrix}1&-1\\-1&2\end{pmatrix}$

3) Se aplica la fórmula:

$A^{-1}=\dfrac{1}{|A|}\cdot(\operatorname{Adj}(A))^{t} = \begin{pmatrix}1&-1\\-1&2\end{pmatrix}$

Ya se puede calcular la matriz $X$:

$X=\dfrac{1}{3} \begin{pmatrix}1&-1\\-1&2\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}3&9&3\\9&9&-3\end{pmatrix}$

$X=\dfrac{1}{3} \begin{pmatrix} 1\cdot 3+(-1)\cdot 9 & 1\cdot 9+(-1)\cdot 9 & 1\cdot 3+(-1)(-3) \\ (-1)\cdot 3+2\cdot 9 & (-1)\cdot 9+2\cdot 9 & (-1)\cdot 3+2\cdot(-3) \end{pmatrix}$

$X=\dfrac{1}{3} \begin{pmatrix}-6&0&6\\15&9&-9\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2&0&2\\5&3&-3\end{pmatrix}$

Se comprueba el resultado:

$3AX= \begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}-6&0&6\\15&9&-9\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3&9&3\\9&9&-3\end{pmatrix} =C+B$

La matriz buscada es $X=\begin{pmatrix}-2&0&2\\5&3&-3\end{pmatrix}$, de orden $2\times 3$.