Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2025

En la cafetería de un museo de arte contemporáneo, famosa por sus bebidas personalizadas y su ambiente artístico, los visitantes pueden elegir entre tres tipos de consumiciones preparadas de manera especial: café, té o bebida fría. Entre los jóvenes que frecuentan la cafetería, el 40 % prefieren el café, el 35 % eligen el té y el 25 % optan por una bebida fría. Además, se sabe que, entre quienes prefieren el café, el 50 % lo toman sin azúcar; entre quienes eligen el té, el 80 % lo toman sin azúcar; y entre quienes prefieren una bebida fría, el 40 % la toman sin azúcar.

a) Calcule la probabilidad de que un joven elegido al azar haya pedido una bebida fría sin azúcar. [4 puntos]

b) Se selecciona un joven al azar y sabemos que ha pedido una consumición sin azúcar, calcule la probabilidad de que haya pedido una bebida fría. [6 puntos]

$\textbf{a) Calcule la probabilidad de que un joven elegido al azar haya pedido una bebida fría sin azúcar.}\ (4\ \text{puntos})$

Se nombran los sucesos:

$C$ = el joven prefiere café,

$T$ = el joven elige té,

$F$ = el joven opta por una bebida fría,

$S$ = la consumición se toma sin azúcar.

Los datos del enunciado son $P(C)=0{,}40$, $P(T)=0{,}35$, $P(F)=0{,}25$, $P(S/C)=0{,}50$, $P(S/T)=0{,}80$ y $P(S/F)=0{,}40$. Se ordenan en un diagrama de árbol.



Pedir una bebida fría sin azúcar es el suceso intersección $F\cap S$, que se recorre siguiendo una sola rama del árbol.

$P(F\cap S)=P(F)\,P(S/F)=0{,}25\cdot 0{,}40$

$P(F\cap S)=0{,}10$

La probabilidad de que un joven elegido al azar haya pedido una bebida fría sin azúcar es $0{,}10$.

$\textbf{b) Se selecciona un joven al azar y sabemos que ha pedido una consumición sin azúcar, calcule la probabilidad de que haya pedido una bebida fría.}\ (6\ \text{puntos})$

Se calcula primero la probabilidad de pedir una consumición sin azúcar aplicando el teorema de la probabilidad total, porque los tres tipos de consumición forman un sistema completo de sucesos.

$P(S)=P(C)\,P(S/C)+P(T)\,P(S/T)+P(F)\,P(S/F)$

$P(S)=0{,}40\cdot 0{,}50+0{,}35\cdot 0{,}80+0{,}25\cdot 0{,}40$

$P(S)=0{,}20+0{,}28+0{,}10=0{,}58$

Se pide una probabilidad a posteriori, de modo que se aplica el teorema de Bayes.

$P(F/S)=\dfrac{P(F\cap S)}{P(S)}=\dfrac{P(F)\,P(S/F)}{P(S)} =\dfrac{0{,}10}{0{,}58}$

$P(F/S)=\dfrac{5}{29}\approx 0{,}1724$

Sabiendo que el joven ha pedido una consumición sin azúcar, la probabilidad de que sea una bebida fría es $\dfrac{5}{29}\approx 0{,}1724$.