Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2025

La función

$B(x) = \begin{cases} 2x\,(32 - 4x) & \text{si } 0 \leq x \leq 3 \\[1ex] -20x + 180 & \text{si } 3 < x \leq 9 \end{cases}$

representa el beneficio mensual de una empresa, en miles de euros, en función del precio unitario (€), $x$, al que vende su producto.

a) Justifique si la función $B(x)$ es continua. [4 puntos]

b) Calcule el precio unitario al que la empresa debe vender el producto para obtener el máximo beneficio e indique a cuánto asciende dicho valor. [6 puntos]

$\textbf{a) Justifique si la función } \boldsymbol{B(x)}\textbf{ es continua.}\ (4\ \text{puntos})$

La función está definida a trozos y cada trozo es una función polinómica, que es continua en todo $\mathbb{R}$. Por tanto $B(x)$ es continua en $[0,3)$ y en $(3,9]$, y el único punto que hay que estudiar es el empalme $x=3$.

Para que la función sea continua en $x=3$ deben existir y coincidir los dos límites laterales y el valor de la función en el punto.

Valor de la función en el punto (lo da la primera rama, que incluye $x=3$):

$B(3)=2\cdot 3\,(32-4\cdot 3)=6\,(32-12)=6\cdot 20=120$

Límite por la izquierda:

$\lim_{x\to 3^{-}} B(x)=\lim_{x\to 3^{-}} 2x\,(32-4x)=2\cdot 3\,(32-12)=120$

Límite por la derecha:

$\lim_{x\to 3^{+}} B(x)=\lim_{x\to 3^{+}} (-20x+180)=-20\cdot 3+180=-60+180=120$

Como

$\lim_{x\to 3^{-}} B(x)=\lim_{x\to 3^{+}} B(x)=B(3)=120,$

la función es continua en $x=3$.

La función $B(x)$ es continua en todo su dominio $[0,9]$: el beneficio no da ningún salto al pasar el precio unitario por los 3 €.

$\textbf{b) Calcule el precio unitario al que la empresa debe vender el producto para obtener el máximo beneficio e indique a cuánto asciende dicho valor.}\ (6\ \text{puntos})$

Se busca el máximo absoluto de una función continua en el intervalo cerrado $[0,9]$, así que se estudia la monotonía de cada rama por separado y después se comparan los candidatos.

En el primer tramo, $0\leq x\leq 3$, se desarrolla y se deriva:

$B(x)=2x\,(32-4x)=64x-8x^{2} \Rightarrow B'(x)=64-16x$

$B'(x)=0 \Rightarrow 64-16x=0 \Rightarrow x=\dfrac{64}{16}=4$

El punto crítico $x=4$ no pertenece al intervalo $[0,3]$, de modo que en ese tramo la derivada no se anula y conserva el signo:

$B'(0)=64>0$

La función es creciente en $[0,3]$.

En el segundo tramo, $3<x\leq 9$, la función es una recta de pendiente negativa:

$B(x)=-20x+180 \Rightarrow B'(x)=-20<0$

La función es decreciente en $(3,9]$.



La función crece hasta $x=3$ y decrece a partir de ahí, luego alcanza su máximo absoluto en $x=3$. Se comprueba comparando con los extremos del intervalo:

$B(0)=2\cdot 0\,(32-0)=0, \qquad B(3)=120, \qquad B(9)=-20\cdot 9+180=0$

El beneficio está medido en miles de euros, así que:

$B(3)=120\ \text{miles de euros}=120\,000\ \text{€}$

La empresa debe vender el producto a un precio unitario de $3\ \text{€}$, con lo que obtiene un beneficio mensual máximo de $120\,000\ \text{€}$.