Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas CCSS

Dada $f(x) = \dfrac{x - \sqrt{6 - x}}{x - 2}$. Calcule $\displaystyle\lim_{x \to 2} f(x)$. ¿La función $f(x)$ tiene una asíntota vertical en $x = 2$? Justifique la respuesta basándose en el cálculo del límite. [5 puntos]

$\textbf{Dada } \boldsymbol{f(x)=\dfrac{x-\sqrt{6-x}}{x-2}}\textbf{. Calcule } \boldsymbol{\displaystyle\lim_{x\to 2} f(x)}\textbf{. ¿La función } \boldsymbol{f(x)}\textbf{ tiene una asíntota vertical en } \boldsymbol{x=2}\textbf{? Justifique la respuesta basándose en el cálculo del límite.}\ (5\ \text{puntos})$

Se sustituye directamente $x=2$ para ver de qué tipo es el límite.

$\lim_{x\to 2}\dfrac{x-\sqrt{6-x}}{x-2} =\dfrac{2-\sqrt{6-2}}{2-2} =\dfrac{2-2}{0} =\dfrac{0}{0}$

Se obtiene una indeterminación del tipo $\dfrac{0}{0}$. Como el numerador contiene una raíz, se multiplican numerador y denominador por el conjugado del numerador.

$\lim_{x\to 2}\dfrac{\left(x-\sqrt{6-x}\right)\left(x+\sqrt{6-x}\right)}{(x-2)\left(x+\sqrt{6-x}\right)}$

En el numerador aparece una suma por diferencia, que es la diferencia de los cuadrados:

$\left(x-\sqrt{6-x}\right)\left(x+\sqrt{6-x}\right)=x^{2}-(6-x)=x^{2}+x-6$

Se factoriza ese polinomio resolviendo la ecuación $x^{2}+x-6=0$:

$x=\dfrac{-1\pm\sqrt{1^{2}-4\cdot 1\cdot(-6)}}{2} =\dfrac{-1\pm\sqrt{25}}{2} =\dfrac{-1\pm 5}{2} \Rightarrow \begin{cases}x=2\\x=-3\end{cases}$

$x^{2}+x-6=(x-2)(x+3)$

Se sustituye y se simplifica el factor $(x-2)$, que es el que anulaba a la vez numerador y denominador:

$\lim_{x\to 2}\dfrac{(x-2)(x+3)}{(x-2)\left(x+\sqrt{6-x}\right)} =\lim_{x\to 2}\dfrac{x+3}{x+\sqrt{6-x}}$

Ahora ya se puede sustituir:

$\lim_{x\to 2}\dfrac{x+3}{x+\sqrt{6-x}} =\dfrac{2+3}{2+\sqrt{4}} =\dfrac{5}{2+2} =\dfrac{5}{4}$

$\lim_{x\to 2} f(x)=\dfrac{5}{4}=1{,}25$

Una recta $x=a$ es asíntota vertical de una función cuando el límite de la función en ese punto es infinito. Aquí el límite existe y es finito, $\dfrac{5}{4}$, de modo que la respuesta es negativa.

La función $f(x)$ no tiene asíntota vertical en $x=2$. Lo que hay en $x=2$ es una discontinuidad evitable: la función no está definida ahí, pero al acercarse el valor de la función se aproxima a $\dfrac{5}{4}$.