Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas CCSS

Clasifique el sistema de ecuaciones $(S)$ utilizando el teorema de Rouché-Frobenius y, si es posible, calcule la solución.

$(S) \equiv \begin{cases} x - y + 2z = -4, \\ 3x - 5y + 8z = -14, \\ x + 3y - 4z = 2. \end{cases}$

[5 puntos]

$\textbf{Clasifique el sistema de ecuaciones } \boldsymbol{(S)}\textbf{ utilizando el teorema de Rouché-Frobenius y, si es posible, calcule la solución.}\ (5\ \text{puntos})$

$(S)\equiv \begin{cases} x-y+2z=-4\\ 3x-5y+8z=-14\\ x+3y-4z=2 \end{cases}$

Se escriben la matriz de los coeficientes $M$ y la matriz ampliada $M^{*}$.

$M= \begin{pmatrix}1&-1&2\\3&-5&8\\1&3&-4\end{pmatrix}, \qquad M^{*}= \left(\begin{array}{ccc|c} 1&-1&2&-4\\ 3&-5&8&-14\\ 1&3&-4&2 \end{array}\right)$

El teorema de Rouché-Frobenius compara los rangos de las dos matrices con el número de incógnitas, así que se empieza calculando el determinante de $M$ por la regla de Sarrus.

$|M|= \begin{vmatrix}1&-1&2\\3&-5&8\\1&3&-4\end{vmatrix} =(20+(-8)+18)-((-10)+24+12)$

$|M|=30-26=4\neq 0$

Como el determinante es distinto de cero, $\operatorname{rg}(M)=3$. La matriz ampliada contiene a $M$ y solo tiene tres filas, así que $\operatorname{rg}(M^{*})=3$ también.

$\operatorname{rg}(M)=\operatorname{rg}(M^{*})=3=\text{n.º de incógnitas}$

Por el teorema de Rouché-Frobenius, el sistema es compatible determinado: tiene solución única.

Se resuelve por reducción. A la segunda ecuación se le resta la primera multiplicada por 3, y a la tercera se le resta la primera:

$\begin{cases} (3x-5y+8z)-3(x-y+2z)=-14-3(-4)\\ (x+3y-4z)-(x-y+2z)=2-(-4) \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} -2y+2z=-2\\ 4y-6z=6 \end{cases}$

Se simplifican las dos ecuaciones:

$\begin{cases} -y+z=-1\\ 2y-3z=3 \end{cases}$

De la primera se despeja $y=z+1$ y se sustituye en la segunda:

$2(z+1)-3z=3 \Rightarrow 2z+2-3z=3 \Rightarrow -z=1 \Rightarrow z=-1$

$y=-1+1=0$

Se sustituye en la primera ecuación del sistema inicial:

$x-0+2(-1)=-4 \Rightarrow x-2=-4 \Rightarrow x=-2$

Se comprueba la solución en la segunda ecuación: $3(-2)-5\cdot 0+8(-1)=-6-8=-14$.

El sistema es compatible determinado y su única solución es $x=-2$, $y=0$, $z=-1$.