Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2025

Un estudio revela que los estudiantes de bachillerato pasan, en promedio, 3,5 horas haciendo fila para entrar a conciertos, con una desviación típica de 1,8 horas. Se selecciona una muestra aleatoria de 64 estudiantes de bachillerato que asisten esta tarde a un concierto, ¿cuál es la probabilidad de que el tiempo promedio de espera para esa muestra sea inferior a 4 horas? [5 puntos]

$\textbf{Un estudio revela que los estudiantes de bachillerato pasan, en promedio, 3,5 horas haciendo fila para entrar a conciertos, con una desviación típica de 1,8 horas. Se selecciona una muestra aleatoria de 64 estudiantes de bachillerato que asisten esta tarde a un concierto, ¿cuál es la probabilidad de que el tiempo promedio de espera para esa muestra sea inferior a 4 horas?}\ (5\ \text{puntos})$

Se llama $X$ al tiempo, en horas, que un estudiante pasa haciendo fila. Del enunciado se conocen su media y su desviación típica:

$\mu=3{,}5,\qquad \sigma=1{,}8,\qquad n=64$

Se pregunta por la media de una muestra de tamaño 64. Por el teorema central del límite, la distribución de las medias muestrales es

$\overline{X}\sim N\left(\mu\,;\,\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$

$\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}=\dfrac{1{,}8}{\sqrt{64}}=\dfrac{1{,}8}{8}=0{,}225 \Rightarrow \overline{X}\sim N(3{,}5\,;0{,}225)$

La probabilidad que se pide es $P(\overline{X}<4)$. Se tipifica para poder usar la tabla de la $N(0,1)$.

$P(\overline{X}<4)=P\left(Z<\dfrac{4-3{,}5}{0{,}225}\right) =P\left(Z<\dfrac{0{,}5}{0{,}225}\right) =P(Z<2{,}22)$

En la tabla de la $N(0,1)$:

$P(Z<2{,}22)=0{,}9868$



La probabilidad de que el tiempo promedio de espera de los 64 estudiantes sea inferior a 4 horas es $0{,}9868$.