Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2025

Una plataforma de streaming desea mejorar su catálogo de películas, para lo cual quiere conocer las preferencias de sus usuarios sobre las películas de *Ciencia Ficción* y de *Comedia*, dos de los géneros más populares entre sus suscriptores.

a) Con el fin de conocer las preferencias de sus usuarios, la plataforma ha realizado una encuesta entre una muestra aleatoria simple de 300 suscriptores. De estos, 210 han indicado que prefieren ver películas de Ciencia Ficción, mientras que el resto prefieren Comedia. Calcule un intervalo de confianza al 96 % para la proporción de suscriptores que prefieren ver Ciencia Ficción. [5 puntos]

b) La plataforma de streaming investiga si la edad de sus usuarios influye en sus preferencias por el género de Ciencia Ficción. Han descubierto que el 60 % de sus usuarios son menores de 30 años y, dentro de este grupo, el 80 % prefiere el género de Ciencia Ficción. En cambio, entre los usuarios de 30 años o más, solo el 50 % tiene esta preferencia. La plataforma ha decidido premiar a uno de sus usuarios al azar con una suscripción gratuita por un año. Sabemos que el ganador prefiere ver películas de Ciencia Ficción. ¿Cuál es la probabilidad de que este usuario tenga menos de 30 años? [5 puntos]

$\textbf{a) Con el fin de conocer las preferencias de sus usuarios, la plataforma ha realizado una encuesta entre una muestra aleatoria simple de 300 suscriptores. De estos, 210 han indicado que prefieren ver películas de Ciencia Ficción, mientras que el resto prefieren Comedia. Calcule un intervalo de confianza al 96 \% para la proporción de suscriptores que prefieren ver Ciencia Ficción.}\ (5\ \text{puntos})$

Se estima una proporción, así que el intervalo de confianza es

$IC=\left(\hat{p}-z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat{p}\,\hat{q}}{n}}\;,\;\hat{p}+z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat{p}\,\hat{q}}{n}}\right)$

Se calcula la proporción muestral:

$\hat{p}=\dfrac{210}{300}=0{,}7,\qquad \hat{q}=1-0{,}7=0{,}3,\qquad n=300$

Se busca el valor crítico. Con un nivel de confianza del 96 \%, $1-\alpha=0{,}96$, luego $\alpha=0{,}04$ y $\alpha/2=0{,}02$:

$P(Z\leq z_{\alpha/2})=1-\dfrac{\alpha}{2}=0{,}98$

En la tabla de la $N(0,1)$ el valor más próximo a $0{,}98$ es $0{,}9798$, que corresponde a $z_{\alpha/2}=2{,}05$.



Se calcula el error o semiamplitud del intervalo:

$E=2{,}05\sqrt{\dfrac{0{,}7\cdot 0{,}3}{300}} =2{,}05\sqrt{0{,}0007} =2{,}05\cdot 0{,}026458$

$E\approx 0{,}0542$

$IC=(0{,}7-0{,}0542\;;\;0{,}7+0{,}0542)$

El intervalo de confianza al 96 \% para la proporción de suscriptores que prefieren la Ciencia Ficción es $(0{,}6458\;;\;0{,}7542)$.

$\textbf{b) La plataforma de streaming investiga si la edad de sus usuarios influye en sus preferencias por el género de Ciencia Ficción. Han descubierto que el 60 \% de sus usuarios son menores de 30 años y, dentro de este grupo, el 80 \% prefiere el género de Ciencia Ficción. En cambio, entre los usuarios de 30 años o más, solo el 50 \% tiene esta preferencia. La plataforma ha decidido premiar a uno de sus usuarios al azar con una suscripción gratuita por un año. Sabemos que el ganador prefiere ver películas de Ciencia Ficción. ¿Cuál es la probabilidad de que este usuario tenga menos de 30 años?}\ (5\ \text{puntos})$

Se nombran los sucesos:

$M$ = el usuario tiene menos de 30 años,

$\overline{M}$ = el usuario tiene 30 años o más,

$F$ = el usuario prefiere el género de Ciencia Ficción.

Los datos del enunciado son $P(M)=0{,}60$, $P(\overline{M})=0{,}40$, $P(F/M)=0{,}80$ y $P(F/\overline{M})=0{,}50$. Se ordenan en un diagrama de árbol.



Se calcula primero la probabilidad de preferir Ciencia Ficción aplicando el teorema de la probabilidad total.

$P(F)=P(M)\,P(F/M)+P(\overline{M})\,P(F/\overline{M}) =0{,}60\cdot 0{,}80+0{,}40\cdot 0{,}50$

$P(F)=0{,}48+0{,}20=0{,}68$

Se pide una probabilidad a posteriori, de modo que se aplica el teorema de Bayes.

$P(M/F)=\dfrac{P(M)\,P(F/M)}{P(F)} =\dfrac{0{,}60\cdot 0{,}80}{0{,}68} =\dfrac{0{,}48}{0{,}68}$

$P(M/F)=\dfrac{12}{17}\approx 0{,}7059$

Sabiendo que el ganador prefiere las películas de Ciencia Ficción, la probabilidad de que tenga menos de 30 años es $\dfrac{12}{17}\approx 0{,}7059$.