Ejercicio resuelto de Optimización · Matemáticas CCSS · 2025

Se ha lanzado al mercado la aplicación social *ViviChat* y el número de usuarios en la aplicación en el momento $t$ está dado por la función

$N(t) = 1400\left(\dfrac{t}{49 + t^{2}} + 100\right)$

donde $t$ se mide en cientos de días desde el lanzamiento.

a) Gracias a la campaña previa al lanzamiento, la aplicación ha logrado captar usuarios desde el inicio. Se considera que la campaña ha tenido éxito si el número de usuarios en el momento del lanzamiento ($t = 0$) es de, al menos, 100.000. Determine si la campaña ha sido exitosa. Además, calcule cuántos usuarios tendrá la aplicación en un horizonte infinito de tiempo. [3 puntos]

b) Suponiendo que $t \in [1, 14]$, calcule el valor de $t$ en el que la aplicación alcanzará el máximo número de usuarios. ¿Cuántos usuarios tendrá la aplicación en ese momento?, y ¿cuántos días habrán transcurrido desde su lanzamiento? [7 puntos]

$\textbf{a) Gracias a la campaña previa al lanzamiento, la aplicación ha logrado captar usuarios desde el inicio. Se considera que la campaña ha tenido éxito si el número de usuarios en el momento del lanzamiento } \boldsymbol{(t=0)}\textbf{ es de, al menos, 100.000. Determine si la campaña ha sido exitosa. Además, calcule cuántos usuarios tendrá la aplicación en un horizonte infinito de tiempo.}\ (3\ \text{puntos})$

El número de usuarios en el momento del lanzamiento es el valor de la función para $t=0$.

$N(0)=1400\left(\dfrac{0}{49+0^{2}}+100\right)=1400\cdot 100=140\,000$

Como $140\,000\geq 100\,000$, la campaña previa al lanzamiento ha sido exitosa.

El número de usuarios en un horizonte infinito de tiempo se obtiene calculando el límite de la función cuando $t$ tiende a infinito. En la fracción el grado del denominador es mayor que el del numerador, así que su límite es cero.

$\lim_{t\to+\infty} N(t) =\lim_{t\to+\infty} 1400\left(\dfrac{t}{49+t^{2}}+100\right) =1400\left(\lim_{t\to+\infty}\dfrac{t}{49+t^{2}}+100\right)$

$\lim_{t\to+\infty} N(t)=1400\,(0+100)=140\,000$

La campaña ha sido exitosa, porque en el lanzamiento la aplicación ya tiene 140.000 usuarios, y a largo plazo el número de usuarios se estabiliza también en 140.000.

$\textbf{b) Suponiendo que } \boldsymbol{t\in[1,14]}\textbf{, calcule el valor de } \boldsymbol{t}\textbf{ en el que la aplicación alcanzará el máximo número de usuarios. ¿Cuántos usuarios tendrá la aplicación en ese momento?, y ¿cuántos días habrán transcurrido desde su lanzamiento?}\ (7\ \text{puntos})$

Se deriva la función y se iguala a cero en busca de los puntos críticos. La constante 100 desaparece al derivar y la fracción se deriva con la regla del cociente.

$N'(t)=1400\cdot\dfrac{1\cdot(49+t^{2})-t\cdot 2t}{(49+t^{2})^{2}} =1400\cdot\dfrac{49+t^{2}-2t^{2}}{(49+t^{2})^{2}}$

$N'(t)=\dfrac{1400\,(49-t^{2})}{(49+t^{2})^{2}}$

$N'(t)=0 \Rightarrow 49-t^{2}=0 \Rightarrow t^{2}=49 \Rightarrow t=\pm 7$

Se descarta la solución $t=-7$, porque el tiempo transcurrido desde el lanzamiento no puede ser negativo y, además, no pertenece al intervalo $[1,14]$.

Como el denominador es un cuadrado, siempre positivo, el signo de $N'(t)$ es el del numerador. Se estudia a ambos lados de $t=7$, dentro del intervalo $[1,14]$.

$\begin{cases} \text{Si } t=1,\quad N'(1)=\dfrac{1400\,(49-1)}{50^{2}}>0 \\[1ex] \text{Si } t=10,\quad N'(10)=\dfrac{1400\,(49-100)}{149^{2}}<0 \end{cases}$

La función crece en $[1,7)$ y decrece en $(7,14]$.



Como la función pasa de crecer a decrecer en $t=7$, ahí presenta un máximo, que además es absoluto en el intervalo $[1,14]$.

$N(7)=1400\left(\dfrac{7}{49+7^{2}}+100\right) =1400\left(\dfrac{7}{98}+100\right) =1400\left(\dfrac{1}{14}+100\right)$

$N(7)=100+140\,000=140\,100$

Por último, como $t$ se mide en cientos de días, el número de días transcurridos es:

$7\cdot 100=700\ \text{días}$

El máximo número de usuarios se alcanza en $t=7$: la aplicación tendrá 140.100 usuarios, 700 días después de su lanzamiento.