Ejercicio resuelto de Programación lineal · Matemáticas CCSS

Miguel quiere mejorar su rendimiento deportivo y ha decidido complementar su dieta con barritas de proteínas y carbohidratos. Puede elegir entre dos tipos de barritas: A y B. Cada barrita A cuesta 1 euro y 50 céntimos y aporta 20 gramos de proteínas y 10 gramos de carbohidratos. Cada barrita B cuesta 1 euro y 20 céntimos y aporta 10 gramos de proteínas y 15 gramos de carbohidratos. Para cumplir con su plan de entrenamiento, Miguel necesita consumir, al menos, 600 gramos de proteínas y, al menos, 620 gramos de carbohidratos. Además, no puede consumir más de 100 barritas en total.

a) Plantee un problema de programación lineal que permita determinar cuántas barritas de cada tipo debe comprar Miguel para que, cumpliendo las restricciones, el coste sea mínimo. [3 puntos]

b) Resuelva el problema anterior y determine a cuánto asciende dicho coste mínimo. [7 puntos]

$\textbf{a) Plantee un problema de programación lineal que permita determinar cuántas barritas de cada tipo debe comprar Miguel para que, cumpliendo las restricciones, el coste sea mínimo.}\ (3\ \text{puntos})$

Se llama $x$ al número de barritas del tipo $A$ y $y$ al número de barritas del tipo $B$ que compra Miguel.

Se ordena la información del enunciado en una tabla.

$$	$\text{Proteínas (g)}$	$\text{Carbohidratos (g)}$	$\text{Coste (€)}$
Barritas A (x)	20x	10x	1,5x
Barritas B (y)	10y	15y	1,2y
Totales	20x+10y	10x+15y	1,5x+1,2y

La función objetivo que se desea minimizar es el coste total de la compra:

$C(x,y)=1{,}5x+1{,}2y$

Las restricciones del problema son:

Se necesitan al menos 600 gramos de proteínas $\Rightarrow$ $20x+10y\geq 600$, que simplificado es $2x+y\geq 60$.

Se necesitan al menos 620 gramos de carbohidratos $\Rightarrow$ $10x+15y\geq 620$, que simplificado es $2x+3y\geq 124$.

No se pueden consumir más de 100 barritas en total $\Rightarrow$ $x+y\leq 100$.

El número de barritas de cada tipo no puede ser negativo $\Rightarrow$ $x\geq 0;\ y\geq 0$.

El problema de programación lineal queda planteado así:

$\text{Minimizar } C(x,y)=1{,}5x+1{,}2y \quad\text{sujeto a}\quad \begin{cases} 2x+y\geq 60\\ 2x+3y\geq 124\\ x+y\leq 100\\ x\geq 0;\ y\geq 0 \end{cases}$

$\textbf{b) Resuelva el problema anterior y determine a cuánto asciende dicho coste mínimo.}\ (7\ \text{puntos})$

Para representar la región factible se dibujan primero las rectas que delimitan cada restricción. La región factible es la zona coloreada en azul.



Las coordenadas de los vértices se obtienen resolviendo los sistemas de ecuaciones correspondientes.

Vértice $A$:

$\begin{cases}2x+y=60\\x=0\end{cases} \Rightarrow y=60 \Rightarrow A(0,60)$

Vértice $B$:

$\begin{cases}x+y=100\\x=0\end{cases} \Rightarrow y=100 \Rightarrow B(0,100)$

Vértice $C$:

$\begin{cases}x+y=100\\y=0\end{cases} \Rightarrow x=100 \Rightarrow C(100,0)$

Vértice $D$:

$\begin{cases}2x+3y=124\\y=0\end{cases} \Rightarrow 2x=124 \Rightarrow x=62 \Rightarrow D(62,0)$

Vértice $E$:

$\begin{cases}2x+y=60\\2x+3y=124\end{cases}$

Se resta la primera ecuación de la segunda:

$2y=64 \Rightarrow y=32$

$2x+32=60 \Rightarrow 2x=28 \Rightarrow x=14 \Rightarrow E(14,32)$

Se valora la función coste $C(x,y)=1{,}5x+1{,}2y$ en cada uno de los vértices en busca del mínimo.

$A(0,60) \Rightarrow C(0,60)=1{,}2\cdot 60=72$

$B(0,100) \Rightarrow C(0,100)=1{,}2\cdot 100=120$

$C(100,0) \Rightarrow C(100,0)=1{,}5\cdot 100=150$

$D(62,0) \Rightarrow C(62,0)=1{,}5\cdot 62=93$

$E(14,32) \Rightarrow C(14,32)=1{,}5\cdot 14+1{,}2\cdot 32=21+38{,}4=59{,}4$

El coste mínimo se alcanza en el vértice $E(14,32)$, y las dos cantidades son números enteros de barritas, como exige el problema.

Miguel debe comprar 14 barritas del tipo $A$ y 32 barritas del tipo $B$, con lo que el coste mínimo asciende a $59{,}40\ \text{€}$.