Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2020

El ayuntamiento de una ciudad quiere estimar la proporción de hogares que tiene Internet de alta velocidad. Para ello, va a visitar una muestra aleatoria simple de hogares para saber si tienen Internet de alta velocidad y, a partir de los resultados, va a construir el intervalo de confianza correspondiente, a nivel de confianza del 94 %.

a) Si quiere que el intervalo no tenga una amplitud mayor que 0,1, ¿qué tamaño de la muestra debe escoger? (6 puntos)

b) Decide tomar una muestra de 200 hogares y, de ellos, 112 tienen Internet de alta velocidad. Calcular el intervalo de confianza al 94 % para la proporción de hogares de la ciudad que tienen Internet de alta velocidad. (4 puntos)

$\textbf{a) Si quiere que el intervalo no tenga una amplitud mayor que 0.1, ¿qué tamaño de la muestra debe escoger?}\ (6\ \text{puntos})$

El intervalo de confianza para una proporción tiene amplitud $2E$, donde

$E=z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat{p}\,\hat{q}}{n}}$

Si la amplitud no debe pasar de $0{,}1$, el error no debe pasar de la mitad:

$E\leq 0{,}05$

Se busca el valor crítico. Con un nivel de confianza del 94 \%, $\alpha=0{,}06$ y $\alpha/2=0{,}03$:

$P(Z\leq z_{\alpha/2})=1-\dfrac{\alpha}{2}=0{,}97$

En la tabla de la $N(0,1)$ el valor más próximo a $0{,}97$ es $0{,}9699$, que corresponde a $z_{\alpha/2}=1{,}88$.



Todavía no se ha hecho la encuesta, así que no se conoce $\hat{p}$. Se toma el caso más desfavorable, que es el que hace máximo el producto $\hat{p}\,\hat{q}$:

$\hat{p}=\hat{q}=0{,}5 \Rightarrow \sqrt{\hat{p}\,\hat{q}}=0{,}5$

Se sustituye en la fórmula del error y se despeja $n$:

$1{,}88\cdot\dfrac{0{,}5}{\sqrt{n}}\leq 0{,}05 \Rightarrow \sqrt{n}\geq\dfrac{1{,}88\cdot 0{,}5}{0{,}05}=18{,}8$

$n\geq 18{,}8^{2}=353{,}44$

Como $n$ debe ser un número entero y la desigualdad ha de cumplirse, se toma el entero inmediatamente superior.

Hay que visitar como mínimo $354$ hogares.

$\textbf{b) Decide tomar una muestra de 200 hogares y, de ellos, 112 tienen Internet de alta velocidad. Calcular el intervalo de confianza al 94 \% para la proporción de hogares de la ciudad que tienen Internet de alta velocidad.}\ (4\ \text{puntos})$

Se calcula la proporción muestral:

$\hat{p}=\dfrac{112}{200}=0{,}56,\qquad \hat{q}=0{,}44,\qquad n=200$

Se mantiene el valor crítico del apartado anterior, $z_{\alpha/2}=1{,}88$, y se calcula el error:

$E=1{,}88\sqrt{\dfrac{0{,}56\cdot 0{,}44}{200}} =1{,}88\sqrt{0{,}001232} =1{,}88\cdot 0{,}0351$

$E\approx 0{,}0660$

$IC=\left(\hat{p}-E\;;\;\hat{p}+E\right)=(0{,}56-0{,}0660\;;\;0{,}56+0{,}0660)$

El intervalo de confianza al 94 \% para la proporción de hogares con Internet de alta velocidad es $(0{,}4940\;;\;0{,}6260)$.