Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2020

En una bolsa tenemos 8 bolas: 3 blancas, 1 roja y 4 negras. Extraemos dos bolas sin reemplazamiento. Calcular:

a) La probabilidad de que las dos sean blancas. (2 puntos)

b) La probabilidad de que al menos una sea blanca. (3 puntos)

c) La probabilidad de que las dos sean del mismo color. (2 puntos)

d) Si las dos bolas son del mismo color, la probabilidad de que sean blancas. (3 puntos)

Se nombran los sucesos que intervienen en el enunciado:

$B \equiv$ extraer bola blanca,

$R \equiv$ extraer bola roja,

$N \equiv$ extraer bola negra.

La bolsa contiene $3$ bolas blancas, $1$ roja y $4$ negras, en total $8$ bolas. Como la extracción se realiza sin reemplazamiento, en la segunda extracción quedan solo 7 bolas y una menos del color que haya salido.

Se hace un diagrama de árbol con las dos extracciones.



$\textbf{a) La probabilidad de que las dos sean blancas.}\ (2\ \text{puntos})$

Se recorre la rama en la que salen dos bolas blancas.

$P(B_1\cap B_2)=P(B_1)\cdot P(B_2/B_1)=\dfrac{3}{8}\cdot\dfrac{2}{7}=\dfrac{6}{56}$

$P(B_1\cap B_2)=\dfrac{3}{28}\approx 0{,}1071$

La probabilidad de que las dos bolas extraídas sean blancas es $\dfrac{3}{28}\approx 0{,}1071$.

$\textbf{b) La probabilidad de que al menos una sea blanca.}\ (3\ \text{puntos})$

Resulta más corto pasar al suceso contrario: que ninguna de las dos sea blanca, es decir, que las dos salgan de entre las 5 bolas no blancas.

$P(\text{al menos una blanca})=1-P(\text{ninguna blanca})$

$P(\text{ninguna blanca})=\dfrac{5}{8}\cdot\dfrac{4}{7}=\dfrac{20}{56}=\dfrac{5}{14}$

$P(\text{al menos una blanca})=1-\dfrac{5}{14}=\dfrac{9}{14}\approx 0{,}6429$

La probabilidad de que al menos una de las dos bolas sea blanca es $\dfrac{9}{14}\approx 0{,}6429$.

$\textbf{c) La probabilidad de que las dos sean del mismo color.}\ (2\ \text{puntos})$

Las dos bolas son del mismo color si las dos son blancas, las dos rojas o las dos negras. Como solo hay una bola roja, es imposible sacar dos rojas.

$P(\text{mismo color})=P(BB)+P(RR)+P(NN)$

$P(BB)=\dfrac{3}{8}\cdot\dfrac{2}{7}=\dfrac{6}{56}, \qquad P(RR)=\dfrac{1}{8}\cdot 0=0, \qquad P(NN)=\dfrac{4}{8}\cdot\dfrac{3}{7}=\dfrac{12}{56}$

$P(\text{mismo color})=\dfrac{6}{56}+0+\dfrac{12}{56}=\dfrac{18}{56}=\dfrac{9}{28}\approx 0{,}3214$

La probabilidad de que las dos bolas sean del mismo color es $\dfrac{9}{28}\approx 0{,}3214$.

$\textbf{d) Si las dos bolas son del mismo color, la probabilidad de que sean blancas.}\ (3\ \text{puntos})$

Se pide una probabilidad condicionada. Si las dos bolas son blancas, en particular son del mismo color, de modo que el suceso «las dos blancas» está contenido en el suceso «las dos del mismo color».

$P(\text{blancas}/\text{mismo color})=\dfrac{P(\text{las dos blancas})}{P(\text{mismo color})} =\dfrac{\dfrac{3}{28}}{\dfrac{9}{28}}$

$P(\text{blancas}/\text{mismo color})=\dfrac{3}{9}=\dfrac{1}{3}\approx 0{,}3333$

Sabiendo que las dos bolas son del mismo color, la probabilidad de que sean blancas es $\dfrac{1}{3}\approx 0{,}3333$.