Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas CCSS

Dada la función, definida para $x\in\mathbb{R}$, $f(x)=\begin{cases}\dfrac{3}{x+1} & \text{si } x<-1\\[6pt] x^3-4x^2+2x-10 & \text{si } -1\le x\le 4\\[6pt] \sqrt{4x^2-7x}-2x & \text{si } x>4\end{cases}$

a) Estudiar la continuidad de $f$. (3 puntos)

b) Calcular $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} f(x)$. (4,5 puntos)

c) Calcular $\displaystyle\int_{1}^{2} f(x)\,dx$. (2,5 puntos)

$\textbf{a) Estudiar la continuidad de } \boldsymbol{f}\textbf{.}\ (3\ \text{puntos})$

Se estudia primero cada trozo por separado y después los dos puntos donde cambia la definición.

En $x<-1$ la función es $\dfrac{3}{x+1}$, que solo deja de ser continua donde se anula el denominador, en $x=-1$, que no pertenece a ese tramo.

En $-1\leq x\leq 4$ es un polinomio, continuo en todo $\mathbb{R}$.

En $x>4$ es $\sqrt{4x^2-7x}-2x$. El radicando $x(4x-7)$ es positivo para todo $x>4$, así que la raíz está bien definida.

Continuidad en $x=-1$:

$f(-1)=(-1)^3-4(-1)^2+2(-1)-10=-1-4-2-10=-17$

$\lim_{x\to-1^{-}} f(x)=\lim_{x\to-1^{-}}\dfrac{3}{x+1}=\dfrac{3}{0^{-}}=-\infty$

El límite por la izquierda no es finito, de modo que la función no es continua en $x=-1$: presenta una discontinuidad de salto infinito y la recta $x=-1$ es asíntota vertical de la rama izquierda.

Continuidad en $x=4$:

$f(4)=4^3-4\cdot 4^2+2\cdot 4-10=64-64+8-10=-2$

$\lim_{x\to 4^{+}} f(x)=\sqrt{4\cdot 16-7\cdot 4}-2\cdot 4=\sqrt{64-28}-8=\sqrt{36}-8=6-8=-2$

$\lim_{x\to 4^{-}} f(x)=f(4)=-2$

Los dos límites laterales coinciden con el valor de la función, así que $f$ es continua en $x=4$.

La función es continua en $\mathbb{R}-\{-1\}$ y presenta una única discontinuidad, de salto infinito, en $x=-1$.

$\textbf{b) Calcular } \boldsymbol{\displaystyle\lim_{x\to+\infty} f(x)}\textbf{.}\ (4{,}5\ \text{puntos})$

Cuando $x\to+\infty$ hay que usar la tercera rama de la función.

$\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{4x^2-7x}-2x\right)=\infty-\infty$

Se trata de una indeterminación del tipo $\infty-\infty$ con una raíz. Se multiplica y se divide por la expresión conjugada.

$\lim_{x\to+\infty} \dfrac{\left(\sqrt{4x^2-7x}-2x\right)\left(\sqrt{4x^2-7x}+2x\right)}{\sqrt{4x^2-7x}+2x} = \lim_{x\to+\infty}\dfrac{(4x^2-7x)-4x^2}{\sqrt{4x^2-7x}+2x}$

$=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{-7x}{\sqrt{4x^2-7x}+2x}$

Numerador y denominador crecen como $x$: se dividen ambos por $x$, teniendo en cuenta que para $x>0$ es $x=\sqrt{x^2}$.

$=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{-7}{\sqrt{\dfrac{4x^2-7x}{x^2}}+2} =\lim_{x\to+\infty}\dfrac{-7}{\sqrt{4-\dfrac{7}{x}}+2} =\dfrac{-7}{\sqrt{4}+2}=\dfrac{-7}{4}$

El valor del límite es $-\dfrac{7}{4}=-1{,}75$, de modo que la recta $y=-\dfrac{7}{4}$ es asíntota horizontal de la rama derecha.

$\textbf{c) Calcular } \boldsymbol{\displaystyle\int_{1}^{2} f(x)\,dx}\textbf{.}\ (2{,}5\ \text{puntos})$

Todo el intervalo de integración $[1,2]$ está contenido en el tramo $-1\leq x\leq 4$, así que se integra el polinomio.

$\int (x^3-4x^2+2x-10)\,dx=\dfrac{x^4}{4}-\dfrac{4x^3}{3}+x^2-10x$

Haciendo uso de la regla de Barrow:

$\int_{1}^{2} f(x)\,dx =\left[\dfrac{x^4}{4}-\dfrac{4x^3}{3}+x^2-10x\right]_{1}^{2}$

$=\left(4-\dfrac{32}{3}+4-20\right)-\left(\dfrac{1}{4}-\dfrac{4}{3}+1-10\right)$

$=\left(-12-\dfrac{32}{3}\right)-\left(\dfrac{1}{4}-\dfrac{4}{3}-9\right) =-\dfrac{68}{3}+\dfrac{121}{12}$

$=\dfrac{-272+121}{12}=-\dfrac{151}{12}$

El valor de la integral definida es $-\dfrac{151}{12}\approx -12{,}58$. Es negativo porque en todo el intervalo de integración la función toma valores negativos.