Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2020

Dada la función $f(x)=\dfrac{x^2-4x+12}{x-1}$ calcular:

a) Dominio de $f$. (1 punto)

b) ¿Para qué valores de $x$ se cumple $f(x)<0$? (3 puntos)

c) Asíntotas verticales, horizontales y oblicuas. (2 puntos)

d) Máximos y mínimos relativos de $f$. (4 puntos)

$\textbf{a) Dominio de } \boldsymbol{f}\textbf{.}\ (1\ \text{punto})$

Es una función cociente de dos polinomios; su dominio lo forman todos los números reales salvo los que anulan el denominador.

$x-1=0 \Rightarrow x=1$

El dominio de la función es $\text{Dom } f(x)=\mathbb{R}-\{1\}$.

$\textbf{b) ¿Para qué valores de } \boldsymbol{x}\textbf{ se cumple } \boldsymbol{f(x)<0}\textbf{?}\ (3\ \text{puntos})$

Se estudia primero el signo del numerador, igualándolo a cero.

$x^2-4x+12=0 \Rightarrow x=\dfrac{4\pm\sqrt{16-48}}{2}=\dfrac{4\pm\sqrt{-32}}{2}$

$\Delta=16-48=-32<0$

El discriminante es negativo, de modo que el numerador no se anula nunca. Al ser una parábola con las ramas hacia arriba que no corta al eje de abscisas, es siempre positiva; basta comprobarlo en un punto:

$x=0 \Rightarrow 0-0+12=12>0$

El signo del cociente coincide entonces con el signo del denominador.

$f(x)<0 \Leftrightarrow x-1<0 \Leftrightarrow x<1$

Se cumple $f(x)<0$ para todo $x$ del intervalo $(-\infty,1)$.

$\textbf{c) Asíntotas verticales, horizontales y oblicuas.}\ (2\ \text{puntos})$

Asíntota vertical: se estudia el límite en el punto excluido del dominio.

$\lim_{x\to 1}\dfrac{x^2-4x+12}{x-1}=\dfrac{1-4+12}{0}=\dfrac{9}{0}=\infty$

La recta $x=1$ es asíntota vertical.

Asíntota horizontal: el grado del numerador es mayor que el del denominador, así que

$\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{x^2-4x+12}{x-1}=\pm\infty$

No hay asíntota horizontal. Como el grado del numerador supera en exactamente una unidad al del denominador, sí hay asíntota oblicua $y=mx+n$.

$m=\lim_{x\to\infty}\dfrac{f(x)}{x}=\lim_{x\to\infty}\dfrac{x^2-4x+12}{x^2-x}=1$

$n=\lim_{x\to\infty}\bigl(f(x)-x\bigr) =\lim_{x\to\infty}\dfrac{x^2-4x+12-x(x-1)}{x-1} =\lim_{x\to\infty}\dfrac{-3x+12}{x-1}=-3$

Hay una asíntota vertical en $x=1$, no hay asíntota horizontal y la asíntota oblicua es $y=x-3$.

$\textbf{d) Máximos y mínimos relativos de } \boldsymbol{f}\textbf{.}\ (4\ \text{puntos})$

Se deriva la función aplicando la regla de derivación de un cociente y se iguala a cero.

$f'(x)=\dfrac{(2x-4)(x-1)-(x^2-4x+12)\cdot 1}{(x-1)^2} =\dfrac{2x^2-6x+4-x^2+4x-12}{(x-1)^2}$

$f'(x)=\dfrac{x^2-2x-8}{(x-1)^2}$

$f'(x)=0 \Rightarrow x^2-2x-8=0 \Rightarrow x=\dfrac{2\pm\sqrt{4+32}}{2}=\dfrac{2\pm 6}{2} \Rightarrow \begin{cases}x=-2\\x=4\end{cases}$

El denominador es un cuadrado, siempre positivo, así que el signo de la derivada es el del numerador $(x+2)(x-4)$. Se estudia el signo teniendo en cuenta que $x=1$ no pertenece al dominio.

$\begin{cases} \text{Si } x=-3,\quad (-1)(-7)=7>0 \\ \text{Si } x=0,\quad (2)(-4)=-8<0 \\ \text{Si } x=2,\quad (4)(-2)=-8<0 \\ \text{Si } x=5,\quad (7)(1)=7>0 \end{cases}$



En $x=-2$ la función pasa de crecer a decrecer: hay un máximo relativo. En $x=4$ pasa de decrecer a crecer: hay un mínimo relativo. En $x=1$ no hay extremo porque el punto no pertenece al dominio; es la asíntota vertical.

Se calculan las ordenadas:

$f(-2)=\dfrac{4+8+12}{-2-1}=\dfrac{24}{-3}=-8$

$f(4)=\dfrac{16-16+12}{4-1}=\dfrac{12}{3}=4$

La función presenta un máximo relativo en $(-2,-8)$ y un mínimo relativo en $(4,4)$. El valor del máximo relativo es menor que el del mínimo relativo, lo que no supone contradicción alguna: la asíntota vertical $x=1$ separa las dos ramas de la gráfica y cada extremo lo es solo dentro de su propia rama.