Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2020

Se sabe que la altura de los estudiantes que se presentan a la EVAU tiene distribución normal con desviación típica igual a 10 cm. Queremos construir un intervalo de confianza para la media de la altura de los estudiantes.

a) Determinar el tamaño de la muestra para que el intervalo de confianza del 97 % tenga una amplitud menor o igual que 4 cm. (5 puntos)

b) Decidimos tomar una muestra de tamaño 9. Medimos a los estudiantes y tenemos los siguientes resultados en cm: 175, 187, 183, 162, 161, 164, 180, 171, 158. Calcular un intervalo de confianza al 97 % para la media de la altura de los estudiantes que se presentan a la EVAU. (4 puntos)

c) Calcular la varianza de la muestra del apartado b). (1 punto)

$\textbf{a) Determinar el tamaño de la muestra para que el intervalo de confianza del 97 \% tenga una amplitud menor o igual que 4 cm.}\ (5\ \text{puntos})$

El intervalo de confianza para la media de una población normal de desviación típica conocida tiene amplitud $2E$, donde

$E=z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$

Si la amplitud no debe pasar de $4$ cm, el error no debe pasar de la mitad:

$E\leq 2$

Se busca el valor crítico. Con un nivel de confianza del 97 \%, $\alpha=0{,}03$ y $\alpha/2=0{,}015$:

$P(Z\leq z_{\alpha/2})=1-\dfrac{\alpha}{2}=0{,}985 \Rightarrow z_{\alpha/2}=2{,}17$



Se sustituye en la fórmula del error y se despeja $n$, con $\sigma=10$ cm:

$2{,}17\cdot\dfrac{10}{\sqrt{n}}\leq 2 \Rightarrow \sqrt{n}\geq\dfrac{21{,}7}{2}=10{,}85$

$n\geq 10{,}85^{2}=117{,}72$

Como $n$ debe ser un número entero y la desigualdad ha de cumplirse, se toma el entero inmediatamente superior.

Hay que tomar una muestra de al menos $118$ estudiantes.

$\textbf{b) Decidimos tomar una muestra de tamaño 9. Medimos a los estudiantes y tenemos los siguientes resultados en cm: 175, 187, 183, 162, 161, 164, 180, 171, 158. Calcular un intervalo de confianza al 97 \% para la media de la altura de los estudiantes que se presentan a la EVAU.}\ (4\ \text{puntos})$

Se calcula primero la media de la muestra.

$\overline{x}=\dfrac{175+187+183+162+161+164+180+171+158}{9}=\dfrac{1541}{9}$

$\overline{x}\approx 171{,}22\ \text{cm}$

Se mantiene el valor crítico del apartado anterior, $z_{\alpha/2}=2{,}17$, y se calcula el error con $\sigma=10$ y $n=9$:

$E=2{,}17\cdot\dfrac{10}{\sqrt{9}}=2{,}17\cdot\dfrac{10}{3}=\dfrac{21{,}7}{3}\approx 7{,}2333$

$IC=\left(\overline{x}-E\;;\;\overline{x}+E\right)=(171{,}22-7{,}23\;;\;171{,}22+7{,}23)$

El intervalo de confianza al 97 \% para la altura media es $(163{,}99\;;\;178{,}46)$ cm. Es un intervalo muy ancho porque la muestra es de solo 9 estudiantes, muy lejos de los 118 que exigía el apartado a).

$\textbf{c) Calcular la varianza de la muestra del apartado b).}\ (1\ \text{punto})$

Se aplica la fórmula de la varianza a partir de la media de los cuadrados.

$\sigma^2=\dfrac{\sum x_i^2}{n}-\overline{x}^{\,2}$

Se calcula primero la suma de los cuadrados:

$\sum x_i^2=175^2+187^2+183^2+162^2+161^2+164^2+180^2+171^2+158^2=264749$

$\sigma^2=\dfrac{264749}{9}-\left(\dfrac{1541}{9}\right)^{2} =29416{,}56-29317{,}05$

$\sigma^2=\dfrac{8060}{81}\approx 99{,}51$

La varianza de la muestra es $\dfrac{8060}{81}\approx 99{,}51\ \text{cm}^2$, de modo que su desviación típica vale $\sqrt{99{,}51}\approx 9{,}98$ cm. Si en lugar de dividir entre $n$ se divide entre $n-1$, se obtiene la cuasivarianza $s^2=\dfrac{8060}{72}\approx 111{,}94\ \text{cm}^2$.