Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2020

En el curso de primero de Bachillerato de un centro educativo se ha hecho una encuesta sobre el destino del viaje de estudios con dos opciones: Londres y París. El curso está compuesto por tres clases: A, B y C. La clase A tiene 28 estudiantes, de los cuales 12 han votado por Londres y el resto por París; en la clase B, que tiene 25 estudiantes, 10 han votado por Londres y el resto por París; en la clase C, con 23 estudiantes, 18 han votado por Londres y el resto por París.

a) Si elegimos al azar un estudiante del curso, ¿cuál es la probabilidad de que haya votado por Londres? (2 puntos)

b) Si elegimos al azar un estudiante de entre los que han votado por Londres, ¿cuál es la probabilidad de que sea de la clase B? (2 puntos)

c) Si elegimos al azar (sin reemplazamiento) dos estudiantes del curso, ¿cuál es la probabilidad de que los dos hayan votado por Londres? (3 puntos)

d) Si elegimos al azar (sin reemplazamiento) tres estudiantes del curso, ¿cuál es la probabilidad de que sea uno de cada clase? (3 puntos)

Se nombran los sucesos que intervienen en el enunciado:

$A,\ B,\ C \equiv$ el estudiante elegido pertenece a la clase A, B o C, respectivamente,

$L \equiv$ el estudiante elegido ha votado por Londres,

$P \equiv$ el estudiante elegido ha votado por París.

Se ordena toda la información en una tabla de contingencia. En cada clase, los que no votan Londres votan París.

$$	$\text{Londres}$	$\text{París}$	$\text{Total}$
Clase A	12	16	28
Clase B	10	15	25
Clase C	18	5	23
Total	40	36	76

$\textbf{a) Si elegimos al azar un estudiante del curso, ¿cuál es la probabilidad de que haya votado por Londres?}\ (2\ \text{puntos})$

Se aplica la regla de Laplace sobre el total de estudiantes del curso.

$P(L)=\dfrac{40}{76}=\dfrac{10}{19}\approx 0{,}5263$

La probabilidad de que el estudiante elegido haya votado por Londres es $\dfrac{10}{19}\approx 0{,}5263$.

$\textbf{b) Si elegimos al azar un estudiante de entre los que han votado por Londres, ¿cuál es la probabilidad de que sea de la clase B?}\ (2\ \text{puntos})$

Se pide una probabilidad condicionada: el espacio muestral se reduce a los 40 estudiantes que han votado por Londres.

$P(B/L)=\dfrac{P(B\cap L)}{P(L)}=\dfrac{\dfrac{10}{76}}{\dfrac{40}{76}}=\dfrac{10}{40}$

$P(B/L)=\dfrac{1}{4}=0{,}25$

La probabilidad de que un estudiante que ha votado por Londres sea de la clase B es $0{,}25$.

$\textbf{c) Si elegimos al azar (sin reemplazamiento) dos estudiantes del curso, ¿cuál es la probabilidad de que los dos hayan votado por Londres?}\ (3\ \text{puntos})$

Al hacerse la elección sin reemplazamiento, la segunda extracción depende de la primera: si el primer estudiante ha votado Londres, quedan 39 votantes de Londres entre 75 estudiantes.

Se hace un diagrama de árbol con las dos extracciones.



Se recorre la rama en la que los dos estudiantes han votado por Londres.

$P(L_1\cap L_2)=P(L_1)\cdot P(L_2/L_1)=\dfrac{40}{76}\cdot\dfrac{39}{75}=\dfrac{1560}{5700}$

$P(L_1\cap L_2)=\dfrac{26}{95}\approx 0{,}2737$

La probabilidad de que los dos estudiantes elegidos hayan votado por Londres es $\dfrac{26}{95}\approx 0{,}2737$.

$\textbf{d) Si elegimos al azar (sin reemplazamiento) tres estudiantes del curso, ¿cuál es la probabilidad de que sea uno de cada clase?}\ (3\ \text{puntos})$

Se calcula primero la probabilidad de un orden concreto, por ejemplo, primero uno de la clase A, después uno de la B y por último uno de la C.

$P(ABC)=\dfrac{28}{76}\cdot\dfrac{25}{75}\cdot\dfrac{23}{74}=\dfrac{16100}{421800}$

Los tres estudiantes pueden salir en cualquiera de los $3!=6$ órdenes posibles —ABC, ACB, BAC, BCA, CAB y CBA— y todos ellos tienen la misma probabilidad, porque el numerador es siempre el mismo producto $28\cdot 25\cdot 23$ y el denominador también.

$P=6\cdot\dfrac{28\cdot 25\cdot 23}{76\cdot 75\cdot 74}=\dfrac{96600}{421800}$

$P=\dfrac{161}{703}\approx 0{,}2290$

La probabilidad de que los tres estudiantes elegidos sean uno de cada clase es $\dfrac{161}{703}\approx 0{,}2290$.