Ejercicio resuelto de Optimización · Matemáticas CCSS · 2020

El coste unitario de fabricación de un producto (en euros) depende del tamaño de la producción a través de la siguiente fórmula:

$C(x)=\dfrac{1}{10}(x^2-16x+100)$

donde $x\in[2,15]$ es el tamaño de la producción (en miles de unidades) y $C$ es el coste unitario (en euros). Calcular:

a) Si se producen 5000 unidades, ¿cuánto vale el coste unitario? (1 punto)

b) ¿Para qué valores del tamaño de la producción $x\in[2,15]$ el coste unitario es inferior a 4 euros? (4 puntos)

c) ¿Para qué tamaño de la producción $x\in[2,15]$ se alcanza el coste unitario mínimo? ¿Y el máximo? ¿Cuánto valen estos costes? (5 puntos)

$\textbf{a) Si se producen 5000 unidades, ¿cuánto vale el coste unitario?}\ (1\ \text{punto})$

El tamaño de la producción viene dado en miles de unidades, así que 5000 unidades corresponden a $x=5$.

$C(5)=\dfrac{1}{10}\left(5^2-16\cdot 5+100\right)=\dfrac{1}{10}(25-80+100)=\dfrac{45}{10}$

$C(5)=4{,}5$

Si se producen 5000 unidades, el coste unitario es de $4{,}5\ \text{€}$.

$\textbf{b) ¿Para qué valores del tamaño de la producción } \boldsymbol{x\in[2,15]}\textbf{ el coste unitario es inferior a 4 euros?}\ (4\ \text{puntos})$

Se plantea la inecuación $C(x)<4$.

$\dfrac{1}{10}(x^2-16x+100)<4 \Rightarrow x^2-16x+100<40 \Rightarrow x^2-16x+60<0$

Se buscan las raíces del polinomio.

$x=\dfrac{16\pm\sqrt{256-240}}{2}=\dfrac{16\pm\sqrt{16}}{2}=\dfrac{16\pm 4}{2} \Rightarrow \begin{cases}x=6\\x=10\end{cases}$

Se hace un estudio de signos. Como es una parábola con las ramas hacia arriba, es negativa entre sus dos raíces.

$\begin{cases} \text{Si } x=3,\quad 9-48+60=21>0 \\ \text{Si } x=8,\quad 64-128+60=-4<0 \\ \text{Si } x=12,\quad 144-192+60=12>0 \end{cases}$

$\begin{array}{c|ccc} & [2,6) & (6,10) & (10,15] \\ \hline x^2-16x+60 & + & - & + \\ \end{array}$

La solución de la inecuación es $6<x<10$, intervalo que está contenido en $[2,15]$.

El coste unitario es inferior a 4 euros cuando el tamaño de la producción está entre 6.000 y 10.000 unidades, es decir, para $x\in(6,10)$.

$\textbf{c) ¿Para qué tamaño de la producción } \boldsymbol{x\in[2,15]}\textbf{ se alcanza el coste unitario mínimo? ¿Y el máximo? ¿Cuánto valen estos costes?}\ (5\ \text{puntos})$

Se deriva la función y se iguala a cero en busca de los puntos críticos.

$C(x)=\dfrac{1}{10}(x^2-16x+100) \Rightarrow C'(x)=\dfrac{1}{10}(2x-16)=\dfrac{x-8}{5}$

$C'(x)=0 \Rightarrow x=8$

Se comprueba con la segunda derivada que se trata de un mínimo.

$C''(x)=\dfrac{1}{5}>0$



La función decrece en $[2,8)$ y crece en $(8,15]$, de modo que en $x=8$ hay un mínimo, que por ser el único punto crítico del intervalo es el mínimo absoluto.

$C(8)=\dfrac{1}{10}(64-128+100)=\dfrac{36}{10}=3{,}6$

El máximo absoluto de una función continua en un intervalo cerrado que no tiene máximos relativos se encuentra en uno de los extremos del intervalo. Se valora la función en ambos:

$C(2)=\dfrac{1}{10}(4-32+100)=\dfrac{72}{10}=7{,}2$

$C(15)=\dfrac{1}{10}(225-240+100)=\dfrac{85}{10}=8{,}5$

Como $8{,}5>7{,}2$, el máximo se alcanza en $x=15$.

El coste unitario mínimo se alcanza produciendo 8.000 unidades y vale $3{,}6\ \text{€}$; el coste unitario máximo se alcanza produciendo 15.000 unidades y vale $8{,}5\ \text{€}$.