Ejercicio resuelto de Análisis · Matemáticas CCSS · Aragón · 2020

a) Calcular la derivada de $f(x)=e^{3x^2-5x}$. (3 puntos)

b) Calcular $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{3x+2}{\sqrt{16x^2+5}}$. (3 puntos)

c) Calcular $\displaystyle\int_{0}^{2}\left(3x^2-\dfrac{1}{\sqrt{4x+1}}\right)dx$. (4 puntos)

$\textbf{a) Calcular la derivada de } \boldsymbol{f(x)=e^{3x^2-5x}}\textbf{.}\ (3\ \text{puntos})$

Se trata de una función exponencial compuesta. La regla de derivación es

$\bigl(e^{u}\bigr)'=u'\,e^{u}$

Aquí $u=3x^2-5x$, cuya derivada es

$u'=6x-5$

Por tanto:

$f'(x)=(6x-5)\,e^{3x^2-5x}$

La derivada de la función es $f'(x)=(6x-5)e^{3x^2-5x}$.

$\textbf{b) Calcular } \boldsymbol{\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{3x+2}{\sqrt{16x^2+5}}}\textbf{.}\ (3\ \text{puntos})$

Se sustituye directamente para ver de qué tipo es el límite.

$\lim_{x\to+\infty}\dfrac{3x+2}{\sqrt{16x^2+5}}=\dfrac{\infty}{\infty}$

Es una indeterminación del tipo $\dfrac{\infty}{\infty}$. Como la raíz de un polinomio de grado 2 se comporta como un polinomio de grado 1, numerador y denominador crecen al mismo ritmo: se dividen ambos por $x$, teniendo en cuenta que para $x>0$ es $x=\sqrt{x^2}$.

$\lim_{x\to+\infty} \dfrac{\dfrac{3x+2}{x}}{\dfrac{\sqrt{16x^2+5}}{\sqrt{x^2}}} = \lim_{x\to+\infty} \dfrac{3+\dfrac{2}{x}}{\sqrt{\dfrac{16x^2+5}{x^2}}} = \lim_{x\to+\infty} \dfrac{3+\dfrac{2}{x}}{\sqrt{16+\dfrac{5}{x^2}}}$

$=\dfrac{3+0}{\sqrt{16+0}}=\dfrac{3}{4}$

El valor del límite es $\dfrac{3}{4}=0{,}75$.

$\textbf{c) Calcular } \boldsymbol{\displaystyle\int_{0}^{2}\left(3x^2-\dfrac{1}{\sqrt{4x+1}}\right)dx}\textbf{.}\ (4\ \text{puntos})$

Se calcula una primitiva integrando cada sumando por separado.

$\int 3x^2\,dx=3\cdot\dfrac{x^3}{3}=x^3$

El segundo sumando es una potencia de exponente $-\dfrac{1}{2}$; se ajusta la derivada de la base, que vale $4$:

$\int\dfrac{1}{\sqrt{4x+1}}\,dx =\dfrac{1}{4}\int 4(4x+1)^{-1/2}\,dx =\dfrac{1}{4}\cdot\dfrac{(4x+1)^{1/2}}{\dfrac{1}{2}} =\dfrac{\sqrt{4x+1}}{2}$

La primitiva completa es

$F(x)=x^3-\dfrac{\sqrt{4x+1}}{2}$

Haciendo uso de la regla de Barrow:

$\int_{0}^{2}\left(3x^2-\dfrac{1}{\sqrt{4x+1}}\right)dx =\left[x^3-\dfrac{\sqrt{4x+1}}{2}\right]_{0}^{2}$

$=\left(8-\dfrac{\sqrt{9}}{2}\right)-\left(0-\dfrac{\sqrt{1}}{2}\right) =\left(8-\dfrac{3}{2}\right)+\dfrac{1}{2}$

$=8-1=7$

El valor de la integral definida es $7$.