Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

Dadas las matrices $A=\begin{pmatrix}2&3&2\\-1&0&-1\end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix}2&0\\-1&-2\\-1&-1\end{pmatrix}$, $C=\begin{pmatrix}1&-2\\2&1\\1&3\end{pmatrix}$, $D=\begin{pmatrix}2&0&-1\\1&1&0\\3&-1&0\end{pmatrix}$

a) ¿Es posible calcular $(BA)^2$? Si es así, calcularla; si no se puede, razonar por qué. (3 puntos)

b) Encontrar, si existe, una matriz $X$ que verifique $2X+3B=2C$. (3 puntos)

c) Calcular, si existe, la matriz inversa de $D$. (4 puntos)

$\textbf{a) ¿Es posible calcular } \boldsymbol{(BA)^2}\textbf{? Si es así, calcularla; si no se puede, razonar por qué.}\ (3\ \text{puntos})$

La matriz $B$ es de orden $3\times 2$ y la matriz $A$ es de orden $2\times 3$. El producto $BA$ está definido, porque el número de columnas de $B$ coincide con el número de filas de $A$, y da una matriz de orden $3\times 3$. Al ser cuadrada, sí se puede elevar al cuadrado.

Se calcula primero $BA$:

$BA= \begin{pmatrix}2&0\\-1&-2\\-1&-1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}2&3&2\\-1&0&-1\end{pmatrix}$

$BA= \begin{pmatrix} 2\cdot 2+0\cdot(-1) & 2\cdot 3+0\cdot 0 & 2\cdot 2+0\cdot(-1) \\ (-1)\cdot 2+(-2)\cdot(-1) & (-1)\cdot 3+(-2)\cdot 0 & (-1)\cdot 2+(-2)\cdot(-1) \\ (-1)\cdot 2+(-1)\cdot(-1) & (-1)\cdot 3+(-1)\cdot 0 & (-1)\cdot 2+(-1)\cdot(-1) \end{pmatrix}$

$BA= \begin{pmatrix}4&6&4\\0&-3&0\\-1&-3&-1\end{pmatrix}$

Se calcula ahora su cuadrado, multiplicándola por sí misma:

$(BA)^2= \begin{pmatrix}4&6&4\\0&-3&0\\-1&-3&-1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}4&6&4\\0&-3&0\\-1&-3&-1\end{pmatrix}$

$(BA)^2= \begin{pmatrix} 16+0-4 & 24-18-12 & 16+0-4 \\ 0+0+0 & 0+9+0 & 0+0+0 \\ -4+0+1 & -6+9+3 & -4+0+1 \end{pmatrix}$

$(BA)^2= \begin{pmatrix}12&-6&12\\0&9&0\\-3&6&-3\end{pmatrix}$

Sí es posible calcular $(BA)^2$, porque $BA$ es una matriz cuadrada de orden 3, y su valor es $(BA)^2=\begin{pmatrix}12&-6&12\\0&9&0\\-3&6&-3\end{pmatrix}$.

$\textbf{b) Encontrar, si existe, una matriz } \boldsymbol{X}\textbf{ que verifique } \boldsymbol{2X+3B=2C}\textbf{.}\ (3\ \text{puntos})$

Las matrices $B$ y $C$ son ambas de orden $3\times 2$, así que la suma tiene sentido y $X$ será también de orden $3\times 2$. Se despeja:

$2X+3B=2C \Rightarrow 2X=2C-3B \Rightarrow X=\dfrac{1}{2}(2C-3B)$

$2C= \begin{pmatrix}2&-4\\4&2\\2&6\end{pmatrix}, \qquad 3B= \begin{pmatrix}6&0\\-3&-6\\-3&-3\end{pmatrix}$

$2C-3B= \begin{pmatrix}2-6&-4-0\\4+3&2+6\\2+3&6+3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-4&-4\\7&8\\5&9\end{pmatrix}$

$X=\dfrac{1}{2} \begin{pmatrix}-4&-4\\7&8\\5&9\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2&-2\\[4pt]\dfrac{7}{2}&4\\[4pt]\dfrac{5}{2}&\dfrac{9}{2}\end{pmatrix}$

La matriz buscada existe y es $X=\begin{pmatrix}-2&-2\\[4pt]\dfrac{7}{2}&4\\[4pt]\dfrac{5}{2}&\dfrac{9}{2}\end{pmatrix}$.

$\textbf{c) Calcular, si existe, la matriz inversa de } \boldsymbol{D}\textbf{.}\ (4\ \text{puntos})$

Se calcula el determinante para comprobar que la matriz es inversible.

$|D|= \begin{vmatrix}2&0&-1\\1&1&0\\3&-1&0\end{vmatrix} =2(0-0)-0(0-0)+(-1)(-1-3)=0-0+4=4\neq 0$

Al ser el determinante distinto de cero, la matriz $D$ tiene inversa. Se calcula por el método de los adjuntos.

1) Se calcula la matriz de los adjuntos:

$\operatorname{Adj}(D)= \begin{pmatrix}0&0&-4\\1&3&2\\1&-1&2\end{pmatrix}$

2) Se calcula su traspuesta:

$(\operatorname{Adj}(D))^{t}= \begin{pmatrix}0&1&1\\0&3&-1\\-4&2&2\end{pmatrix}$

3) Se aplica la fórmula:

$D^{-1}=\dfrac{1}{4} \begin{pmatrix}0&1&1\\0&3&-1\\-4&2&2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0&\dfrac{1}{4}&\dfrac{1}{4}\\[6pt]0&\dfrac{3}{4}&-\dfrac{1}{4}\\[6pt]-1&\dfrac{1}{2}&\dfrac{1}{2}\end{pmatrix}$

Se comprueba el resultado:

$D\cdot D^{-1}= \begin{pmatrix}2&0&-1\\1&1&0\\3&-1&0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0&\dfrac{1}{4}&\dfrac{1}{4}\\[6pt]0&\dfrac{3}{4}&-\dfrac{1}{4}\\[6pt]-1&\dfrac{1}{2}&\dfrac{1}{2}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$

La matriz inversa existe y es $D^{-1}=\dfrac{1}{4}\begin{pmatrix}0&1&1\\0&3&-1\\-4&2&2\end{pmatrix}$.