Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2021

Se desea estimar la proporción de estudiantes que viven en un colegio mayor a través del porcentaje observado en una muestra aleatoria de estudiantes.

a) Por estudios previos se sabe que el porcentaje de estudiantes alojados en un colegio mayor es del 20 %. ¿De qué tamaño debemos elegir la muestra para que el error de la estimación de la proporción sea menor de 0,1 con un nivel de confianza del 98 %? (6 puntos)

b) Se toma una muestra de 50 estudiantes y se observa que 12 se alojan en un colegio mayor, calcula el intervalo de confianza al 98 % para la proporción de estudiantes alojados en un colegio mayor. (4 puntos)

$\textbf{a) Por estudios previos se sabe que el porcentaje de estudiantes alojados en un colegio mayor es del 20 \%. ¿De qué tamaño debemos elegir la muestra para que el error de la estimación de la proporción sea menor de 0,1 con un nivel de confianza del 98 \%?}\ (6\ \text{puntos})$

El error de la estimación de una proporción es

$E=z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{p\,q}{n}}$

Por los estudios previos se toma $p=0{,}20$ y $q=0{,}80$.

Se busca el valor crítico. Con un nivel de confianza del 98 \%, $\alpha=0{,}02$ y $\alpha/2=0{,}01$:

$P(Z\leq z_{\alpha/2})=1-\dfrac{\alpha}{2}=0{,}99$

En la tabla de la $N(0,1)$ el valor más próximo a $0{,}99$ es $0{,}9901$, que corresponde a $z_{\alpha/2}=2{,}33$.



Se impone que el error sea menor que $0{,}1$ y se despeja $n$:

$2{,}33\sqrt{\dfrac{0{,}20\cdot 0{,}80}{n}}<0{,}1 \Rightarrow \sqrt{\dfrac{0{,}16}{n}}<\dfrac{0{,}1}{2{,}33}$

$\dfrac{0{,}16}{n}<\left(\dfrac{0{,}1}{2{,}33}\right)^{2} \Rightarrow n>\dfrac{2{,}33^{2}\cdot 0{,}16}{0{,}1^{2}}=\dfrac{5{,}4289\cdot 0{,}16}{0{,}01}$

$n>86{,}86$

Como $n$ debe ser un número entero, se toma el entero inmediatamente superior.

Hay que elegir una muestra de al menos $87$ estudiantes.

$\textbf{b) Se toma una muestra de 50 estudiantes y se observa que 12 se alojan en un colegio mayor, calcula el intervalo de confianza al 98 \% para la proporción de estudiantes alojados en un colegio mayor.}\ (4\ \text{puntos})$

Se calcula la proporción muestral:

$\hat{p}=\dfrac{12}{50}=0{,}24,\qquad \hat{q}=0{,}76,\qquad n=50$

Se mantiene el valor crítico del apartado anterior, $z_{\alpha/2}=2{,}33$, y se calcula el error:

$E=2{,}33\sqrt{\dfrac{0{,}24\cdot 0{,}76}{50}} =2{,}33\sqrt{0{,}003648} =2{,}33\cdot 0{,}060399$

$E\approx 0{,}1407$

$IC=\left(\hat{p}-E\;;\;\hat{p}+E\right)=(0{,}24-0{,}1407\;;\;0{,}24+0{,}1407)$

El intervalo de confianza al 98 \% para la proporción de estudiantes alojados en un colegio mayor es $(0{,}0993\;;\;0{,}3807)$. El intervalo es muy ancho porque la muestra, de solo 50 estudiantes, se queda muy por debajo de los 87 que exigía el apartado a).