Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2021

Los profesores Alvarado, Benítez y Cadiñanos han corregido el 25 %, 30 % y 45 %, respectivamente, de los exámenes de una oposición. Los porcentajes de cometer algún fallo en la corrección son 1 %, 2 % y 3 %, respectivamente. Si se selecciona un examen al azar:

a) Calcula la probabilidad de que esté mal corregido. (3 puntos)

b) El examen tiene un error de corrección, calcula la probabilidad de haber sido corregido por Benítez. (3 puntos)

c) El examen tiene un error de corrección, ¿qué corrector tiene mayor probabilidad de haber corregido mal el examen? (4 puntos)

Se nombran los sucesos que intervienen en el enunciado:

$A \equiv$ el examen ha sido corregido por Alvarado,

$B \equiv$ el examen ha sido corregido por Benítez,

$C \equiv$ el examen ha sido corregido por Cadiñanos,

$M \equiv$ el examen está mal corregido.

Del enunciado se extraen las probabilidades de cada corrector y las probabilidades condicionadas de cometer un fallo:

$P(A)=0{,}25,\qquad P(B)=0{,}30,\qquad P(C)=0{,}45$

$P(M/A)=0{,}01,\qquad P(M/B)=0{,}02,\qquad P(M/C)=0{,}03$

Se hace un diagrama de árbol con toda la información.



$\textbf{a) Calcula la probabilidad de que esté mal corregido.}\ (3\ \text{puntos})$

Los tres correctores forman un sistema completo de sucesos, así que se aplica el teorema de la probabilidad total.

$P(M)=P(A)P(M/A)+P(B)P(M/B)+P(C)P(M/C)$

$P(M)=0{,}25\cdot 0{,}01+0{,}30\cdot 0{,}02+0{,}45\cdot 0{,}03$

$P(M)=0{,}0025+0{,}006+0{,}0135=0{,}022$

La probabilidad de que un examen elegido al azar esté mal corregido es $0{,}022$.

$\textbf{b) El examen tiene un error de corrección, calcula la probabilidad de haber sido corregido por Benítez.}\ (3\ \text{puntos})$

Es una probabilidad a posteriori: se conoce el resultado y se pregunta por la causa. Se aplica el teorema de Bayes.

$P(B/M)=\dfrac{P(B)\cdot P(M/B)}{P(M)}=\dfrac{0{,}30\cdot 0{,}02}{0{,}022}=\dfrac{0{,}006}{0{,}022}$

$P(B/M)=\dfrac{3}{11}\approx 0{,}2727$

Sabiendo que el examen tiene un error de corrección, la probabilidad de que lo haya corregido Benítez es $\dfrac{3}{11}\approx 0{,}2727$.

$\textbf{c) El examen tiene un error de corrección, ¿qué corrector tiene mayor probabilidad de haber corregido mal el examen?}\ (4\ \text{puntos})$

Hay que comparar las tres probabilidades a posteriori, todas con el mismo denominador $P(M)=0{,}022$.

$P(A/M)=\dfrac{0{,}25\cdot 0{,}01}{0{,}022}=\dfrac{0{,}0025}{0{,}022}=\dfrac{5}{44}\approx 0{,}1136$

$P(B/M)=\dfrac{0{,}006}{0{,}022}=\dfrac{3}{11}\approx 0{,}2727$

$P(C/M)=\dfrac{0{,}45\cdot 0{,}03}{0{,}022}=\dfrac{0{,}0135}{0{,}022}=\dfrac{27}{44}\approx 0{,}6136$

Se comprueba que las tres suman la unidad, como debe ocurrir con un sistema completo:

$\dfrac{5}{44}+\dfrac{12}{44}+\dfrac{27}{44}=\dfrac{44}{44}=1$

El corrector con mayor probabilidad de haber corregido mal el examen es Cadiñanos, con $P(C/M)=\dfrac{27}{44}\approx 0{,}6136$. Es razonable: aunque su porcentaje de fallo por examen no es mucho mayor que el de los otros, corrige casi la mitad de los exámenes.