Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2021

Dada la función $f(x)=\dfrac{2x^2-16}{x+3}$

a) Calcula el dominio y las asíntotas de $f(x)$. (4 puntos)

b) Determina, si existen, los máximos y mínimos relativos de $f(x)$ en su dominio. (6 puntos)

$\textbf{a) Calcula el dominio y las asíntotas de } \boldsymbol{f(x)}\textbf{.}\ (4\ \text{puntos})$

Es una función cociente de dos polinomios; su dominio lo forman todos los números reales salvo los que anulan el denominador.

$x+3=0 \Rightarrow x=-3$

$\text{Dom } f(x)=\mathbb{R}-\{-3\}$

Asíntota vertical: se estudia el límite en el punto excluido del dominio.

$\lim_{x\to-3} f(x)=\lim_{x\to-3}\dfrac{2x^2-16}{x+3}=\dfrac{2\cdot 9-16}{0}=\dfrac{2}{0}=\infty$

La recta $x=-3$ es asíntota vertical.

Asíntota horizontal: el grado del numerador es mayor que el del denominador, así que

$\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{2x^2-16}{x+3}=\pm\infty$

No hay asíntota horizontal. Como el grado del numerador supera en exactamente una unidad al del denominador, sí hay asíntota oblicua $y=mx+n$.

$m=\lim_{x\to\infty}\dfrac{f(x)}{x}=\lim_{x\to\infty}\dfrac{2x^2-16}{x^2+3x}=2$

$n=\lim_{x\to\infty}\bigl(f(x)-2x\bigr) =\lim_{x\to\infty}\dfrac{2x^2-16-2x(x+3)}{x+3} =\lim_{x\to\infty}\dfrac{-6x-16}{x+3}=-6$

La asíntota oblicua es $y=2x-6$.

El dominio es $\mathbb{R}-\{-3\}$, hay una asíntota vertical en $x=-3$, no hay asíntota horizontal y la asíntota oblicua es $y=2x-6$.

$\textbf{b) Determina, si existen, los máximos y mínimos relativos de } \boldsymbol{f(x)}\textbf{ en su dominio.}\ (6\ \text{puntos})$

Se deriva la función aplicando la regla de derivación de un cociente y se iguala a cero.

$f'(x)=\dfrac{4x(x+3)-(2x^2-16)\cdot 1}{(x+3)^2} =\dfrac{4x^2+12x-2x^2+16}{(x+3)^2}$

$f'(x)=\dfrac{2x^2+12x+16}{(x+3)^2}$

$f'(x)=0 \Rightarrow 2x^2+12x+16=0 \Rightarrow x^2+6x+8=0$

$x=\dfrac{-6\pm\sqrt{36-32}}{2}=\dfrac{-6\pm 2}{2} \Rightarrow \begin{cases}x=-4\\x=-2\end{cases}$

El denominador es un cuadrado, siempre positivo, así que el signo de la derivada es el del numerador $2(x+2)(x+4)$. Se estudia el signo teniendo en cuenta que $x=-3$ no pertenece al dominio.

$\begin{cases} \text{Si } x=-5,\quad 2(-3)(-1)=6>0 \\ \text{Si } x=-3{,}5,\quad 2(-1{,}5)(0{,}5)=-1{,}5<0 \\ \text{Si } x=-2{,}5,\quad 2(-0{,}5)(1{,}5)=-1{,}5<0 \\ \text{Si } x=0,\quad 2\cdot 2\cdot 4=16>0 \end{cases}$



En $x=-4$ la función pasa de crecer a decrecer: hay un máximo relativo. En $x=-2$ pasa de decrecer a crecer: hay un mínimo relativo. En $x=-3$ no hay extremo porque el punto no pertenece al dominio; es la asíntota vertical.

Se calculan las ordenadas:

$f(-4)=\dfrac{2\cdot 16-16}{-4+3}=\dfrac{16}{-1}=-16$

$f(-2)=\dfrac{2\cdot 4-16}{-2+3}=\dfrac{-8}{1}=-8$

La función presenta un máximo relativo en $(-4,-16)$ y un mínimo relativo en $(-2,-8)$. El valor del máximo relativo es menor que el del mínimo relativo, lo que no supone contradicción alguna: la asíntota vertical $x=-3$ separa las dos ramas de la gráfica y cada extremo lo es solo dentro de su propia rama.