Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas CCSS

Sea la función $f(x)=\begin{cases}-x^2-2x & \text{si } x<0\\ x^3-6x^2+9x & \text{si } x\ge 0\end{cases}$

a) Estudia si $f(x)$ es continua en $x=0$. ¿Es $f(x)$ continua en la recta real? (3 puntos)

b) Halla los mínimos y máximos absolutos de $f(x)$ en $x\in[1,4]$. (3 puntos)

c) Analiza la concavidad $(\cap)$ - convexidad $(\cup)$ de $f(x)$ cuando $x>0$. (1 punto)

d) Calcula $\displaystyle\int_{1}^{2} f(x)\,dx$. (3 puntos)

$\textbf{a) Estudia si } \boldsymbol{f(x)}\textbf{ es continua en } \boldsymbol{x=0}\textbf{. ¿Es } \boldsymbol{f(x)}\textbf{ continua en la recta real?}\ (3\ \text{puntos})$

Para que una función definida a trozos sea continua en el punto donde cambia la expresión, deben coincidir los dos límites laterales y el valor de la función.

$f(0)=0^3-6\cdot 0^2+9\cdot 0=0$

$\lim_{x\to 0^{-}} f(x)=\lim_{x\to 0^{-}}(-x^2-2x)=0$

$\lim_{x\to 0^{+}} f(x)=\lim_{x\to 0^{+}}(x^3-6x^2+9x)=0$

$\lim_{x\to 0^{-}} f(x)=\lim_{x\to 0^{+}} f(x)=f(0)=0$

La función es continua en $x=0$.

Las dos ramas son funciones polinómicas, y todo polinomio es continuo en $\mathbb{R}$, de modo que cada trozo es continuo en su intervalo. Como además enlazan bien en el único punto de cambio, la función $f(x)$ es continua en toda la recta real.

$\textbf{b) Halla los mínimos y máximos absolutos de } \boldsymbol{f(x)}\textbf{ en } \boldsymbol{x\in[1,4]}\textbf{.}\ (3\ \text{puntos})$

Todo el intervalo $[1,4]$ está contenido en el tramo $x\geq 0$, así que se trabaja con $f(x)=x^3-6x^2+9x$.

Se deriva y se iguala a cero en busca de los puntos críticos.

$f'(x)=3x^2-12x+9=3(x^2-4x+3)$

$f'(x)=0 \Rightarrow x^2-4x+3=0 \Rightarrow x=\dfrac{4\pm\sqrt{16-12}}{2}=\dfrac{4\pm 2}{2} \Rightarrow \begin{cases}x=1\\x=3\end{cases}$

Los dos puntos críticos pertenecen al intervalo. Se estudia el signo de la derivada:

$\begin{cases} \text{Si } x=0{,}5,\quad f'(0{,}5)=3(0{,}25-2+3)=3{,}75>0 \\ \text{Si } x=2,\quad f'(2)=3(4-8+3)=-3<0 \\ \text{Si } x=4,\quad f'(4)=3(16-16+3)=9>0 \end{cases}$



Por ser continua en un intervalo cerrado, la función alcanza sus extremos absolutos en los puntos críticos interiores o en los bordes del intervalo. Se valora la función en los tres candidatos:

$f(1)=1-6+9=4$

$f(3)=27-54+27=0$

$f(4)=64-96+36=4$

El mínimo absoluto vale $0$ y se alcanza en $x=3$; el máximo absoluto vale $4$ y se alcanza dos veces, en $x=1$ y en $x=4$.

$\textbf{c) Analiza la concavidad } \boldsymbol{(\cap)}\textbf{ - convexidad } \boldsymbol{(\cup)}\textbf{ de } \boldsymbol{f(x)}\textbf{ cuando } \boldsymbol{x>0}\textbf{.}\ (1\ \text{punto})$

Para estudiar la curvatura se calcula la segunda derivada y se iguala a cero.

$f''(x)=6x-12$

$f''(x)=0 \Rightarrow x=2$

$\begin{cases} \text{Si } x=1,\quad f''(1)=-6<0 \\ \text{Si } x=3,\quad f''(3)=6>0 \end{cases}$

$\begin{array}{c|cc} & (0,2) & (2,+\infty) \\ \hline f''(x) & - & + \\ f(x) & \cap & \cup \end{array}$

Para $x>0$ la función es cóncava $(\cap)$ en $(0,2)$ y convexa $(\cup)$ en $(2,+\infty)$, con un punto de inflexión en $x=2$.

$\textbf{d) Calcula } \boldsymbol{\displaystyle\int_{1}^{2} f(x)\,dx}\textbf{.}\ (3\ \text{puntos})$

El intervalo de integración está contenido en el tramo $x\geq 0$, así que se integra el polinomio de tercer grado.

$\int (x^3-6x^2+9x)\,dx=\dfrac{x^4}{4}-2x^3+\dfrac{9x^2}{2}$

Haciendo uso de la regla de Barrow:

$\int_{1}^{2} f(x)\,dx =\left[\dfrac{x^4}{4}-2x^3+\dfrac{9x^2}{2}\right]_{1}^{2}$

$=\left(\dfrac{16}{4}-16+18\right)-\left(\dfrac{1}{4}-2+\dfrac{9}{2}\right) =(4-16+18)-\left(\dfrac{1}{4}+\dfrac{5}{2}\right)$

$=6-\dfrac{11}{4}=\dfrac{24-11}{4}=\dfrac{13}{4}$

El valor de la integral definida es $\dfrac{13}{4}=3{,}25$.