Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

Dadas las matrices $A=\begin{pmatrix}3&m\\6&3\end{pmatrix}$ y $B=\begin{pmatrix}1&0&-1\\0&3&m\\0&6&3\end{pmatrix}$. Se pide:

a) Determina los valores del parámetro $m$ para que $A$ tenga inversa. Para $m=2$, calcula $A^{-1}$. (3 puntos)

b) Discute y resuelve, según los valores del parámetro $m$, el sistema de ecuaciones $B\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}$. (7 puntos)

$\textbf{a) Determina los valores del parámetro } \boldsymbol{m}\textbf{ para que } \boldsymbol{A}\textbf{ tenga inversa. Para } \boldsymbol{m=2}\textbf{, calcula } \boldsymbol{A^{-1}}\textbf{.}\ (3\ \text{puntos})$

Una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si su determinante no se anula.

$|A|= \begin{vmatrix}3&m\\6&3\end{vmatrix} =3\cdot 3-m\cdot 6=9-6m$

$|A|=0 \Rightarrow 9-6m=0 \Rightarrow m=\dfrac{3}{2}$

La matriz $A$ tiene inversa para todo $m\neq\dfrac{3}{2}$.

Para $m=2$:

$A= \begin{pmatrix}3&2\\6&3\end{pmatrix}, \qquad |A|=9-12=-3\neq 0$

Se calcula la inversa por el método de los adjuntos.

$\operatorname{Adj}(A)= \begin{pmatrix}3&-6\\-2&3\end{pmatrix}, \qquad (\operatorname{Adj}(A))^{t}= \begin{pmatrix}3&-2\\-6&3\end{pmatrix}$

$A^{-1}=\dfrac{1}{-3} \begin{pmatrix}3&-2\\-6&3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1&\dfrac{2}{3}\\[6pt]2&-1\end{pmatrix}$

Se comprueba el resultado:

$\begin{pmatrix}3&2\\6&3\end{pmatrix} \begin{pmatrix}-1&\dfrac{2}{3}\\[6pt]2&-1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$

La matriz inversa es $A^{-1}=\begin{pmatrix}-1&\dfrac{2}{3}\\[6pt]2&-1\end{pmatrix}$.

$\textbf{b) Discute y resuelve, según los valores del parámetro } \boldsymbol{m}\textbf{, el sistema de ecuaciones } \boldsymbol{B\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}\textbf{.}\ (7\ \text{puntos})$

El sistema escrito en forma de ecuaciones es

$\begin{cases} x-z=0\\ 3y+mz=1\\ 6y+3z=0 \end{cases}$

Se calcula el determinante de la matriz de los coeficientes, desarrollando por la primera columna.

$|B|= \begin{vmatrix}1&0&-1\\0&3&m\\0&6&3\end{vmatrix} =1\cdot \begin{vmatrix}3&m\\6&3\end{vmatrix} =9-6m$

$|B|=0 \Rightarrow m=\dfrac{3}{2}$

Se distinguen dos casos.

Caso 1: $m\neq\dfrac{3}{2}$.

El determinante no se anula, $\operatorname{rg}(B)=\operatorname{rg}(B|C)=3$ y, por el teorema de Rouché-Frobenius, el sistema es compatible determinado.

De la tercera ecuación, $6y+3z=0 \Rightarrow z=-2y$. Se sustituye en la segunda:

$3y+m(-2y)=1 \Rightarrow y(3-2m)=1 \Rightarrow y=\dfrac{1}{3-2m}$

$z=-2y=\dfrac{-2}{3-2m}$

De la primera ecuación, $x=z$, luego

$x=\dfrac{-2}{3-2m},\qquad y=\dfrac{1}{3-2m},\qquad z=\dfrac{-2}{3-2m}$

Caso 2: $m=\dfrac{3}{2}$.

El sistema queda

$\begin{cases} x-z=0\\ 3y+\dfrac{3}{2}z=1\\ 6y+3z=0 \end{cases}$

La tercera ecuación es exactamente el doble del primer miembro de la segunda, pero los términos independientes no guardan esa proporción: $2\cdot 1=2\neq 0$. Multiplicando la segunda por $2$ se obtiene $6y+3z=2$, que es incompatible con $6y+3z=0$.

Por tanto $\operatorname{rg}(B)=2$ y $\operatorname{rg}(B|C)=3$: el sistema es incompatible.

Resumiendo: para $m\neq\dfrac{3}{2}$ el sistema es compatible determinado, con solución $x=z=\dfrac{-2}{3-2m}$ e $y=\dfrac{1}{3-2m}$; para $m=\dfrac{3}{2}$ el sistema es incompatible.