Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2021

Se quiere estimar el tiempo diario de conexión a redes sociales de los universitarios. Se sabe que dicho tiempo tiene una distribución normal con desviación típica de 33 minutos (0,55 horas). Se desea construir un intervalo de confianza para la media diaria de conexión a redes sociales. Se pide:

a) ¿A cuántos estudiantes debemos entrevistar para garantizar que el intervalo de confianza del 97 % tenga una amplitud menor o igual a 0,16 horas? (6 puntos)

b) Se ha encuestado a 100 universitarios y se ha obtenido una media de 4 horas al día. Calcula el intervalo de confianza al 97 % para la media poblacional. (3 puntos)

c) Un informe de cierto Ministerio afirma que la media del tiempo que los universitarios pasan conectados a las redes sociales es de 5 horas al día. Razona, a la vista del apartado b), si hay motivos para dudar de su afirmación. (1 punto)

$\textbf{a) ¿A cuántos estudiantes debemos entrevistar para garantizar que el intervalo de confianza del 97 \% tenga una amplitud menor o igual a 0,16 horas?}\ (6\ \text{puntos})$

El intervalo de confianza para la media de una población normal de desviación típica conocida tiene amplitud $2E$, donde

$E=z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$

Si la amplitud no debe pasar de $0{,}16$ horas, el error no debe pasar de la mitad:

$E\leq 0{,}08$

Se busca el valor crítico. Con un nivel de confianza del 97 \%, $\alpha=0{,}03$ y $\alpha/2=0{,}015$:

$P(Z\leq z_{\alpha/2})=1-\dfrac{\alpha}{2}=0{,}985 \Rightarrow z_{\alpha/2}=2{,}17$

Se sustituye en la fórmula del error y se despeja $n$, con $\sigma=0{,}55$ horas:

$2{,}17\cdot\dfrac{0{,}55}{\sqrt{n}}\leq 0{,}08 \Rightarrow \sqrt{n}\geq\dfrac{2{,}17\cdot 0{,}55}{0{,}08}=\dfrac{1{,}1935}{0{,}08}=14{,}91875$

$n\geq 14{,}91875^{2}=222{,}57$

Como $n$ debe ser un número entero y la desigualdad ha de cumplirse, se toma el entero inmediatamente superior.

Hay que entrevistar como mínimo a $223$ estudiantes.

$\textbf{b) Se ha encuestado a 100 universitarios y se ha obtenido una media de 4 horas al día. Calcula el intervalo de confianza al 97 \% para la media poblacional.}\ (3\ \text{puntos})$

Los datos son $\overline{x}=4$, $\sigma=0{,}55$ y $n=100$, y el valor crítico es el mismo del apartado anterior, $z_{\alpha/2}=2{,}17$.



Se calcula el error:

$E=2{,}17\cdot\dfrac{0{,}55}{\sqrt{100}}=2{,}17\cdot\dfrac{0{,}55}{10}=2{,}17\cdot 0{,}055=0{,}11935$

$IC=\left(\overline{x}-E\;;\;\overline{x}+E\right)=(4-0{,}11935\;;\;4+0{,}11935)$

El intervalo de confianza al 97 \% para el tiempo medio diario de conexión es $(3{,}8807\;;\;4{,}1194)$ horas.

$\textbf{c) Un informe de cierto Ministerio afirma que la media del tiempo que los universitarios pasan conectados a las redes sociales es de 5 horas al día. Razona, a la vista del apartado b), si hay motivos para dudar de su afirmación.}\ (1\ \text{punto})$

Basta comprobar si el valor que afirma el Ministerio pertenece al intervalo calculado.

$5\notin(3{,}8807\;;\;4{,}1194)$

El valor $5$ queda muy por encima del extremo superior del intervalo.

Sí hay motivos para dudar de la afirmación: con los datos de la encuesta y al 97 \% de confianza, el tiempo medio diario de conexión no llega a las 5 horas.