Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2021

Al terminar el bachillerato los 100 alumnos de un Centro, de las modalidades de Ciencias y Artes, planean viajar por Italia, Francia o Portugal. Entre los 55 alumnos de Ciencias se sabe que 10 quieren ir a Italia, 25 a Francia y 20 a Portugal. En el grupo de Artes hay 30 que quieren ir a Italia y 15 a Portugal. Elegido un alumno al azar, calcula:

a) La probabilidad de que quiera ir a Portugal. (2,5 puntos)

b) Probabilidad de que un alumno que quiera ir a Italia sea de Artes. (2,5 puntos)

c) Probabilidad de que un alumno quiera ir a Francia y sea de Ciencias. (2,5 puntos)

d) Probabilidad de que un alumno de Ciencias quiera ir a Francia. (2,5 puntos)

Se nombran los sucesos que intervienen en el enunciado:

$C \equiv$ el alumno elegido es de la modalidad de Ciencias,

$A \equiv$ el alumno elegido es de la modalidad de Artes,

$I,\ F,\ P \equiv$ el alumno elegido quiere ir a Italia, a Francia o a Portugal, respectivamente.

De los 100 alumnos, 55 son de Ciencias, así que los de Artes son $100-55=45$. En el grupo de Artes hay 30 que quieren ir a Italia y 15 a Portugal, luego a Francia quieren ir $45-30-15=0$.

Se ordena toda la información en una tabla de contingencia.

$$	$\text{Italia}$	$\text{Francia}$	$\text{Portugal}$	$\text{Total}$
Ciencias	10	25	20	55
Artes	30	0	15	45
Total	40	25	35	100

$\textbf{a) La probabilidad de que quiera ir a Portugal.}\ (2{,}5\ \text{puntos})$

Se aplica la regla de Laplace sobre el total de alumnos del centro.

$P(P)=\dfrac{\text{alumnos que quieren ir a Portugal}}{\text{total de alumnos}}=\dfrac{20+15}{100}=\dfrac{35}{100}$

$P(P)=0{,}35$

La probabilidad de que el alumno elegido quiera ir a Portugal es $0{,}35$.

$\textbf{b) Probabilidad de que un alumno que quiera ir a Italia sea de Artes.}\ (2{,}5\ \text{puntos})$

Se pide una probabilidad condicionada: el espacio muestral se reduce a los 40 alumnos que quieren ir a Italia.

$P(A/I)=\dfrac{P(A\cap I)}{P(I)}=\dfrac{\dfrac{30}{100}}{\dfrac{40}{100}}=\dfrac{30}{40}$

$P(A/I)=\dfrac{3}{4}=0{,}75$

La probabilidad de que un alumno que quiere ir a Italia sea de Artes es $0{,}75$.

$\textbf{c) Probabilidad de que un alumno quiera ir a Francia y sea de Ciencias.}\ (2{,}5\ \text{puntos})$

Ahora se pide la probabilidad de la intersección, sin condicionar: se cuentan los alumnos que están a la vez en la fila de Ciencias y en la columna de Francia, sobre el total.

$P(F\cap C)=\dfrac{25}{100}$

$P(F\cap C)=0{,}25$

La probabilidad de que el alumno elegido quiera ir a Francia y sea de Ciencias es $0{,}25$.

$\textbf{d) Probabilidad de que un alumno de Ciencias quiera ir a Francia.}\ (2{,}5\ \text{puntos})$

Es de nuevo una probabilidad condicionada, pero ahora el espacio muestral se reduce a los 55 alumnos de Ciencias.

$P(F/C)=\dfrac{P(F\cap C)}{P(C)}=\dfrac{\dfrac{25}{100}}{\dfrac{55}{100}}=\dfrac{25}{55}$

$P(F/C)=\dfrac{5}{11}\approx 0{,}4545$

La probabilidad de que un alumno de Ciencias quiera ir a Francia es $\dfrac{5}{11}\approx 0{,}4545$. Conviene fijarse en que este resultado es distinto del apartado c): allí el total eran los 100 alumnos del centro y aquí solo los 55 de Ciencias.