Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas CCSS

Dada la función $f(x)=\begin{cases}\dfrac{a}{1-x} & \text{si } x\le 0\\[6pt] bx^2+2x+c & \text{si } x>0\end{cases}$ donde $a,b,c$ son parámetros reales. Se pide:

a) Determina los valores de los parámetros para que $f(x)$ sea continua en $x=0$, la función tenga un extremo relativo en $x=1$ y $f'(-1)=-1$. Caracteriza si el extremo es máximo o mínimo. (5 puntos)

b) Calcula, para los valores $a=1$, $b=-2$, $c=3$: $\displaystyle\lim_{x\to-\infty} f(x)$ y $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} f(x)$. (2 puntos)

c) Calcula, para los valores $a=1$, $b=-2$, $c=3$: $\displaystyle\int_{1}^{2} f(x)\,dx$. (3 puntos)

$\textbf{a) Determina los valores de los parámetros para que } \boldsymbol{f(x)}\textbf{ sea continua en } \boldsymbol{x=0}\textbf{, la función tenga un extremo relativo en } \boldsymbol{x=1}\textbf{ y } \boldsymbol{f'(-1)=-1}\textbf{. Caracteriza si el extremo es máximo o mínimo.}\ (5\ \text{puntos})$

Se traducen las tres condiciones del enunciado en tres ecuaciones.

Continuidad en $x=0$: deben coincidir los límites laterales y el valor de la función.

$f(0)=\dfrac{a}{1-0}=a$

$\lim_{x\to 0^{+}} f(x)=b\cdot 0^2+2\cdot 0+c=c$

$a=c$

Extremo relativo en $x=1$: el punto pertenece a la segunda rama, cuya derivada es $2bx+2$, y en un extremo la derivada se anula.

$2b\cdot 1+2=0 \Rightarrow 2b=-2 \Rightarrow b=-1$

Condición $f'(-1)=-1$: el punto pertenece a la primera rama. Se deriva

$f(x)=\dfrac{a}{1-x} \Rightarrow f'(x)=\dfrac{a}{(1-x)^2}$

$f'(-1)=\dfrac{a}{(1-(-1))^2}=\dfrac{a}{4}=-1 \Rightarrow a=-4$

De la primera condición, $c=a=-4$.

$a=-4,\qquad b=-1,\qquad c=-4$

Para caracterizar el extremo se recurre a la segunda derivada de la rama correspondiente.

$f'(x)=2bx+2=-2x+2 \Rightarrow f''(x)=-2<0$

Al ser la segunda derivada negativa, en $x=1$ la función presenta un máximo relativo.

Los valores buscados son $a=-4$, $b=-1$ y $c=-4$, y el extremo de $x=1$ es un máximo relativo.

$\textbf{b) Calcula, para los valores } \boldsymbol{a=1}\textbf{, } \boldsymbol{b=-2}\textbf{, } \boldsymbol{c=3}\textbf{: } \boldsymbol{\displaystyle\lim_{x\to-\infty} f(x)}\textbf{ y } \boldsymbol{\displaystyle\lim_{x\to+\infty} f(x)}\textbf{.}\ (2\ \text{puntos})$

Con esos valores la función queda

$f(x)= \begin{cases} \dfrac{1}{1-x} & \text{si } x\leq 0\\[6pt] -2x^2+2x+3 & \text{si } x>0 \end{cases}$

Cuando $x\to-\infty$ se usa la primera rama. El grado del denominador es mayor que el del numerador, así que el límite es cero.

$\lim_{x\to-\infty}\dfrac{1}{1-x}=\dfrac{1}{+\infty}=0$

Cuando $x\to+\infty$ se usa la segunda rama. En un polinomio manda el término de mayor grado, aquí $-2x^2$.

$\lim_{x\to+\infty}(-2x^2+2x+3)=-\infty$

Los límites pedidos son $\displaystyle\lim_{x\to-\infty} f(x)=0$, de modo que la recta $y=0$ es asíntota horizontal por la izquierda, y $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} f(x)=-\infty$.

$\textbf{c) Calcula, para los valores } \boldsymbol{a=1}\textbf{, } \boldsymbol{b=-2}\textbf{, } \boldsymbol{c=3}\textbf{: } \boldsymbol{\displaystyle\int_{1}^{2} f(x)\,dx}\textbf{.}\ (3\ \text{puntos})$

Todo el intervalo de integración $[1,2]$ está contenido en el tramo $x>0$, así que se integra la segunda expresión.

$\int (-2x^2+2x+3)\,dx=-\dfrac{2x^3}{3}+x^2+3x$

Haciendo uso de la regla de Barrow:

$\int_{1}^{2} f(x)\,dx =\left[-\dfrac{2x^3}{3}+x^2+3x\right]_{1}^{2}$

$=\left(-\dfrac{16}{3}+4+6\right)-\left(-\dfrac{2}{3}+1+3\right) =\left(-\dfrac{16}{3}+10\right)-\left(-\dfrac{2}{3}+4\right)$

$=\dfrac{14}{3}-\dfrac{10}{3}=\dfrac{4}{3}$

El valor de la integral definida es $\dfrac{4}{3}\approx 1{,}33$.