Ejercicio resuelto de Programación lineal · Matemáticas CCSS

Un mayorista de zapatos pone a la venta su stock, en concreto, 800 pares de botas, 1.200 pares de mocasines y 2.100 pares de zapatillas. Lanza dos ofertas, A y B. La oferta A consiste en 1 par de botas, 3 pares de mocasines y 7 pares de zapatillas y se vende a 360 euros. La oferta B consiste en 2 pares de botas y 2 pares de mocasines que vende a 120 euros. Se pide:

a) Plantea y resuelve un problema de programación lineal que permita calcular el número de lotes de cada oferta que maximiza el ingreso obtenido con la venta. ¿A cuánto asciende dicho ingreso máximo? (8 puntos)

b) Razona cuántos pares de botas, mocasines y zapatillas quedarán sin vender en la solución óptima. (2 puntos)

$\textbf{a) Plantea y resuelve un problema de programación lineal que permita calcular el número de lotes de cada oferta que maximiza el ingreso obtenido con la venta. ¿A cuánto asciende dicho ingreso máximo?}\ (8\ \text{puntos})$

Se llama $x$ al número de lotes de la oferta A e $y$ al número de lotes de la oferta B.

Se ordena la información del enunciado en una tabla.

$$	$\text{Botas}$	$\text{Mocasines}$	$\text{Zapatillas}$	$\text{Ingreso}$
Lotes A (x)	x	3x	7x	360x
Lotes B (y)	2y	2y	0	120y
Totales	x+2y	3x+2y	7x	360x+120y
Stock	800	1200	2100

La función objetivo que se desea maximizar es el ingreso: $I(x,y)=360x+120y$.

Las restricciones del problema son:

Se dispone de 800 pares de botas $\Rightarrow$ $x+2y\leq 800$.

Se dispone de 1.200 pares de mocasines $\Rightarrow$ $3x+2y\leq 1200$.

Se dispone de 2.100 pares de zapatillas $\Rightarrow$ $7x\leq 2100$, es decir, $x\leq 300$.

El número de lotes no puede ser negativo $\Rightarrow$ $x\geq 0;\ y\geq 0$.

Se reúnen todas las restricciones en un sistema de inecuaciones:

$\begin{cases} x+2y\leq 800\\ 3x+2y\leq 1200\\ x\leq 300\\ x\geq 0;\ y\geq 0 \end{cases}$

Se representan las rectas que delimitan la región factible. La región factible es la zona coloreada en azul.



Las coordenadas de los vértices se obtienen resolviendo los sistemas de ecuaciones correspondientes.

Vértice $O$: es el origen, $O(0,0)$.

Vértice $A$:

$\begin{cases}x=300\\y=0\end{cases} \Rightarrow A(300,0)$

Vértice $B$:

$\begin{cases}x=300\\3x+2y=1200\end{cases} \Rightarrow 900+2y=1200 \Rightarrow y=150 \Rightarrow B(300,150)$

Vértice $C$:

$\begin{cases}x+2y=800\\3x+2y=1200\end{cases}$

Restando la primera de la segunda:

$2x=400 \Rightarrow x=200 \Rightarrow 200+2y=800 \Rightarrow y=300 \Rightarrow C(200,300)$

Vértice $D$:

$\begin{cases}x+2y=800\\x=0\end{cases} \Rightarrow 2y=800 \Rightarrow y=400 \Rightarrow D(0,400)$

Se valora la función ingreso $I(x,y)=360x+120y$ en cada uno de los vértices en busca del máximo.

$O(0,0) \Rightarrow I(0,0)=0$

$A(300,0) \Rightarrow I(300,0)=108000$

$B(300,150) \Rightarrow I(300,150)=108000+18000=126000$

$C(200,300) \Rightarrow I(200,300)=72000+36000=108000$

$D(0,400) \Rightarrow I(0,400)=48000$

El ingreso máximo se produce en el vértice $B(300,150)$.

Deben venderse 300 lotes de la oferta A y 150 lotes de la oferta B, con lo que el ingreso máximo asciende a $126000\ \text{€}$.

$\textbf{b) Razona cuántos pares de botas, mocasines y zapatillas quedarán sin vender en la solución óptima.}\ (2\ \text{puntos})$

Se sustituye la solución óptima $(300,150)$ en el consumo de cada artículo y se compara con el stock disponible.

Botas:

$x+2y=300+2\cdot 150=600 \Rightarrow 800-600=200$

Mocasines:

$3x+2y=900+300=1200 \Rightarrow 1200-1200=0$

Zapatillas:

$7x=7\cdot 300=2100 \Rightarrow 2100-2100=0$

En la solución óptima se agotan los mocasines y las zapatillas —son precisamente las dos restricciones que se cortan en el vértice óptimo— y quedan sin vender $200$ pares de botas.