Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2022

El tiempo de espera para recibir en casa «tu compra en pocos minutos» se distribuye según una distribución normal de varianza 16 minutos.

a) Si la media para el tiempo de espera fuera de 12 minutos, ¿cuál sería la probabilidad de que la media de 7 pedidos fuese de más de 10 minutos? (3 puntos)

b) Si la media obtenida a partir de una muestra aleatoria de 49 encargos fue de 12 minutos, calcule un intervalo de confianza para la media poblacional, con un nivel de confianza del 97 %. (4 puntos)

c) Con datos de 16 encargos se ha calculado el intervalo de confianza $(9{,}7;\,13{,}5)$ minutos para el tiempo medio en recibir el pedido. Determine el nivel de confianza de ese intervalo. (3 puntos)

La varianza de la distribución es $\sigma^2=16$, de modo que la desviación típica es

$\sigma=\sqrt{16}=4$ minutos.

$\textbf{a) Si la media para el tiempo de espera fuera de 12 minutos, ¿cuál sería la probabilidad de que la media de 7 pedidos fuese de más de 10 minutos?}\ (3\ \text{puntos})$

Se pregunta por la media de una muestra, así que se trabaja con la distribución de la media muestral:

$\overline{X}\sim N\left(\mu\,;\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right) =N\left(12\,;\dfrac{4}{\sqrt{7}}\right)$

$\dfrac{4}{\sqrt{7}}=\dfrac{4}{2{,}6458}\approx 1{,}5119$

Se tipifica para poder usar la tabla de la $N(0,1)$:

$P(\overline{X}>10)=P\left(Z>\dfrac{10-12}{1{,}5119}\right)=P(Z>-1{,}32)$

Por la simetría de la campana:

$P(Z>-1{,}32)=P(Z<1{,}32)=0{,}9066$



La probabilidad de que la media de 7 pedidos sea de más de 10 minutos es $0{,}9066$.

$\textbf{b) Si la media obtenida a partir de una muestra aleatoria de 49 encargos fue de 12 minutos, calcule un intervalo de confianza para la media poblacional, con un nivel de confianza del 97 \%.}\ (4\ \text{puntos})$

El intervalo de confianza para la media de una población normal de desviación típica conocida es

$IC=\left(\overline{x}-z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\;;\;\overline{x}+z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$

Los datos son $\overline{x}=12$, $\sigma=4$ y $n=49$.

Se busca el valor crítico. Con un nivel de confianza del 97 \%, $\alpha/2=0{,}015$ y

$P(Z\leq z_{\alpha/2})=0{,}985 \Rightarrow z_{\alpha/2}=2{,}17$



Se calcula el error:

$E=2{,}17\cdot\dfrac{4}{\sqrt{49}}=2{,}17\cdot\dfrac{4}{7}=1{,}24$

$IC=(12-1{,}24\;;\;12+1{,}24)$

El intervalo de confianza al 97 \% para el tiempo medio de espera es $(10{,}76\;;\;13{,}24)$ minutos.

$\textbf{c) Con datos de 16 encargos se ha calculado el intervalo de confianza } \boldsymbol{(9{,}7;\,13{,}5)}\textbf{ minutos para el tiempo medio en recibir el pedido. Determine el nivel de confianza de ese intervalo.}\ (3\ \text{puntos})$

Se recorre el camino inverso: del intervalo se obtiene el error, del error el valor crítico y del valor crítico el nivel de confianza.

El error es la semiamplitud del intervalo:

$E=\dfrac{13{,}5-9{,}7}{2}=\dfrac{3{,}8}{2}=1{,}9$

Se despeja el valor crítico de la fórmula del error, con $\sigma=4$ y $n=16$:

$z_{\alpha/2}=\dfrac{E\sqrt{n}}{\sigma}=\dfrac{1{,}9\cdot 4}{4}=1{,}90$

Se busca en la tabla de la $N(0,1)$:

$P(Z\leq 1{,}90)=0{,}9713=1-\dfrac{\alpha}{2} \Rightarrow \dfrac{\alpha}{2}=0{,}0287 \Rightarrow \alpha=0{,}0574$

$1-\alpha=1-0{,}0574=0{,}9426$



El intervalo se ha construido con un nivel de confianza del $94{,}26\ \%$.