Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2022

Responda a las siguientes cuestiones:

a) Una aseguradora ha lanzado seguros multidispositivos a jóvenes para contingencias de hurtos, roturas, daños, etc. de patinetes, teléfonos móviles y ordenadores portátiles. Los seguros de patinetes suponen el 40 % de su cartera, los móviles representan el 45 % y los portátiles el resto de su cartera. La compañía conoce que un 51 % de patinetes, un 40 % de teléfonos móviles y un 9 % de ordenadores dan lugar a un parte de siniestro. (7 puntos)

a.1) Calcule la probabilidad de que se comunique un parte de siniestro. (2 puntos)

a.2) Si llegara un parte de siniestro, calcule la probabilidad de haber sido una contingencia por un teléfono móvil. (2 puntos)

a.3) Si llegara un parte de siniestro, ¿cuál de los tres dispositivos es más probable que haya causado la contingencia? (3 puntos)

b) En una ciudad se ha encuestado a 100 personas preguntándoles si tenían contratado algún seguro para su teléfono móvil. Se obtuvo como resultado que 15 personas tenían contratado este tipo de seguro. Determine un intervalo de confianza al 96 % para la proporción de personas de esa ciudad que tienen contratado un seguro para su móvil. (3 puntos)

Se nombran los sucesos que intervienen en el enunciado:

$A \equiv$ la póliza es de un patinete,

$B \equiv$ la póliza es de un teléfono móvil,

$C \equiv$ la póliza es de un ordenador portátil,

$S \equiv$ se comunica un parte de siniestro.

Los patinetes son el 40 \% de la cartera y los móviles el 45 \%, de modo que los portátiles son el resto:

$P(C)=1-0{,}40-0{,}45=0{,}15$

$P(A)=0{,}40,\qquad P(B)=0{,}45,\qquad P(C)=0{,}15$

$P(S/A)=0{,}51,\qquad P(S/B)=0{,}40,\qquad P(S/C)=0{,}09$

Se hace un diagrama de árbol con toda la información.



$\textbf{a.1) Calcule la probabilidad de que se comunique un parte de siniestro.}\ (2\ \text{puntos})$

Los tres tipos de póliza forman un sistema completo de sucesos, así que se aplica el teorema de la probabilidad total.

$P(S)=P(A)P(S/A)+P(B)P(S/B)+P(C)P(S/C)$

$P(S)=0{,}40\cdot 0{,}51+0{,}45\cdot 0{,}40+0{,}15\cdot 0{,}09$

$P(S)=0{,}204+0{,}18+0{,}0135=0{,}3975$

La probabilidad de que se comunique un parte de siniestro es $0{,}3975$.

$\textbf{a.2) Si llegara un parte de siniestro, calcule la probabilidad de haber sido una contingencia por un teléfono móvil.}\ (2\ \text{puntos})$

Es una probabilidad a posteriori: se conoce el resultado y se pregunta por la causa. Se aplica el teorema de Bayes.

$P(B/S)=\dfrac{P(B)\cdot P(S/B)}{P(S)}=\dfrac{0{,}45\cdot 0{,}40}{0{,}3975}=\dfrac{0{,}18}{0{,}3975}$

$P(B/S)=\dfrac{24}{53}\approx 0{,}4528$

Si llega un parte de siniestro, la probabilidad de que sea por un teléfono móvil es $\dfrac{24}{53}\approx 0{,}4528$.

$\textbf{a.3) Si llegara un parte de siniestro, ¿cuál de los tres dispositivos es más probable que haya causado la contingencia?}\ (3\ \text{puntos})$

Hay que comparar las tres probabilidades a posteriori, todas con el mismo denominador $P(S)=0{,}3975$.

$P(A/S)=\dfrac{0{,}40\cdot 0{,}51}{0{,}3975}=\dfrac{0{,}204}{0{,}3975}=\dfrac{136}{265}\approx 0{,}5132$

$P(B/S)=\dfrac{0{,}18}{0{,}3975}=\dfrac{24}{53}\approx 0{,}4528$

$P(C/S)=\dfrac{0{,}15\cdot 0{,}09}{0{,}3975}=\dfrac{0{,}0135}{0{,}3975}=\dfrac{9}{265}\approx 0{,}0340$

Se comprueba que las tres suman la unidad, como debe ocurrir con un sistema completo:

$0{,}5132+0{,}4528+0{,}0340=1$

El dispositivo que con mayor probabilidad ha causado la contingencia es el patinete, con $P(A/S)\approx 0{,}5132$.

$\textbf{b) En una ciudad se ha encuestado a 100 personas preguntándoles si tenían contratado algún seguro para su teléfono móvil. Se obtuvo como resultado que 15 personas tenían contratado este tipo de seguro. Determine un intervalo de confianza al 96 \% para la proporción de personas de esa ciudad que tienen contratado un seguro para su móvil.}\ (3\ \text{puntos})$

Se estima una proporción, así que el intervalo de confianza es

$IC=\left(\hat{p}-z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat{p}\,\hat{q}}{n}}\;;\;\hat{p}+z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat{p}\,\hat{q}}{n}}\right)$

Se calcula la proporción muestral:

$\hat{p}=\dfrac{15}{100}=0{,}15,\qquad \hat{q}=0{,}85,\qquad n=100$

Se busca el valor crítico. Con un nivel de confianza del 96 \%, $\alpha/2=0{,}02$ y

$P(Z\leq z_{\alpha/2})=0{,}98 \Rightarrow z_{\alpha/2}=2{,}05$



Se calcula el error:

$E=2{,}05\sqrt{\dfrac{0{,}15\cdot 0{,}85}{100}}=2{,}05\sqrt{0{,}001275}=2{,}05\cdot 0{,}035707$

$E\approx 0{,}0732$

$IC=(0{,}15-0{,}0732\;;\;0{,}15+0{,}0732)$

El intervalo de confianza al 96 \% para la proporción de personas con seguro de móvil es $(0{,}0768\;;\;0{,}2232)$.