Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2022

La primera derivada de una cierta función es $f'(x)=x(x-1)^2$.

a) ¿En qué intervalo $f(x)$ es creciente? ¿Y decreciente? Calcule los extremos relativos. (3 puntos)

b) ¿En qué intervalo es cóncava la gráfica de $f(x)$? ¿Y convexa? Calcule los puntos de inflexión de $f(x)$. (4 puntos)

c) Determine $f(x)$ sabiendo que $f(0)=10$. (3 puntos)

$\textbf{a) ¿En qué intervalo } \boldsymbol{f(x)}\textbf{ es creciente? ¿Y decreciente? Calcule los extremos relativos.}\ (3\ \text{puntos})$

El enunciado da directamente la derivada primera, así que basta estudiar su signo.

$f'(x)=x(x-1)^2=0 \Rightarrow \begin{cases}x=0\\x=1\end{cases}$

El factor $(x-1)^2$ es un cuadrado, de modo que nunca es negativo: el signo de $f'(x)$ coincide con el signo de $x$ salvo en $x=1$, donde la derivada se anula.

$\begin{cases} \text{Si } x=-1,\quad f'(-1)=-1\cdot 4=-4<0 \\ \text{Si } x=0{,}5,\quad f'(0{,}5)=0{,}5\cdot 0{,}25=0{,}125>0 \\ \text{Si } x=2,\quad f'(2)=2\cdot 1=2>0 \end{cases}$



La función es decreciente en $(-\infty,0)$ y creciente en $(0,+\infty)$.

En $x=0$ la derivada cambia de negativa a positiva, así que hay un mínimo relativo. En $x=1$ la derivada se anula pero no cambia de signo —es positiva a ambos lados—, de modo que ahí no hay extremo relativo, sino un punto de tangente horizontal.

La función decrece en $(-\infty,0)$, crece en $(0,+\infty)$ y presenta un único extremo relativo: un mínimo en $x=0$.

$\textbf{b) ¿En qué intervalo es cóncava la gráfica de } \boldsymbol{f(x)}\textbf{? ¿Y convexa? Calcule los puntos de inflexión de } \boldsymbol{f(x)}\textbf{.}\ (4\ \text{puntos})$

Para estudiar la curvatura se deriva de nuevo. Conviene desarrollar antes la derivada primera.

$f'(x)=x(x-1)^2=x(x^2-2x+1)=x^3-2x^2+x$

$f''(x)=3x^2-4x+1$

$f''(x)=0 \Rightarrow 3x^2-4x+1=0 \Rightarrow x=\dfrac{4\pm\sqrt{16-12}}{6}=\dfrac{4\pm 2}{6}$

$\begin{cases} x=\dfrac{1}{3} \\ x=1 \end{cases}$

Se estudia el signo de la segunda derivada en los tres tramos que determinan estos valores.

$\begin{cases} \text{Si } x=0,\quad f''(0)=1>0 \\ \text{Si } x=0{,}5,\quad f''(0{,}5)=0{,}75-2+1=-0{,}25<0 \\ \text{Si } x=2,\quad f''(2)=12-8+1=5>0 \end{cases}$

$\begin{array}{c|ccc} & \left(-\infty,\tfrac{1}{3}\right) & \left(\tfrac{1}{3},1\right) & (1,+\infty) \\ \hline f''(x) & + & - & + \\ f(x) & \cup & \cap & \cup \end{array}$

La gráfica es convexa $(\cup)$ en $\left(-\infty,\dfrac{1}{3}\right)\cup(1,+\infty)$ y cóncava $(\cap)$ en $\left(\dfrac{1}{3},1\right)$. Como la segunda derivada cambia de signo en ambos valores, hay puntos de inflexión en $x=\dfrac{1}{3}$ y en $x=1$.

$\textbf{c) Determine } \boldsymbol{f(x)}\textbf{ sabiendo que } \boldsymbol{f(0)=10}\textbf{.}\ (3\ \text{puntos})$

La función se recupera integrando su derivada, ya desarrollada en el apartado anterior.

$f(x)=\int (x^3-2x^2+x)\,dx=\dfrac{x^4}{4}-\dfrac{2x^3}{3}+\dfrac{x^2}{2}+C$

Se determina la constante de integración con la condición del enunciado.

$f(0)=\dfrac{0}{4}-\dfrac{0}{3}+\dfrac{0}{2}+C=C$

$C=10$

La función buscada es $f(x)=\dfrac{x^4}{4}-\dfrac{2x^3}{3}+\dfrac{x^2}{2}+10$.