Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2022

Dada $f(x)=50+\dfrac{1}{100}(1-x)+\dfrac{1}{1-x}$ se pide:

a) Calcule el dominio y, si existen, las asíntotas verticales y horizontales. (2 puntos)

b) Razone que $f(x)$ tiene dos extremos relativos, uno mínimo y otro máximo. ¿El valor en el mínimo de la función es mayor o menor que el valor en el máximo? (5 puntos)

c) Supongamos que $x$ representa el precio de venta de un kg de solomillo según la época del año, $x\in[5,21]$ euros por kilo, y $f(x)$ el ingreso diario de un mayorista (en cientos de euros) por la venta del producto. ¿A qué precio debe vender para obtener el máximo ingreso? ¿A cuántos euros asciende dicho ingreso máximo? (3 puntos)

$\textbf{a) Calcule el dominio y, si existen, las asíntotas verticales y horizontales.}\ (2\ \text{puntos})$

La función es la suma de un polinomio y de una fracción, y esta última solo deja de estar definida donde se anula su denominador.

$1-x=0 \Rightarrow x=1$

$\text{Dom } f(x)=\mathbb{R}-\{1\}$

Asíntota vertical: se estudia el límite en el punto excluido del dominio.

$\lim_{x\to 1}f(x)=\lim_{x\to 1}\left(50+\dfrac{1-x}{100}+\dfrac{1}{1-x}\right)=50+0+\dfrac{1}{0}=\infty$

La recta $x=1$ es asíntota vertical.

Asíntota horizontal: se estudia el límite en el infinito.

$\lim_{x\to+\infty}f(x)=50+\lim_{x\to+\infty}\dfrac{1-x}{100}+\lim_{x\to+\infty}\dfrac{1}{1-x}=50-\infty+0=-\infty$

$\lim_{x\to-\infty}f(x)=50+\infty+0=+\infty$

Como ninguno de los dos límites es finito, la función no tiene asíntotas horizontales.

El dominio es $\mathbb{R}-\{1\}$, hay una asíntota vertical en $x=1$ y no hay asíntotas horizontales.

$\textbf{b) Razone que } \boldsymbol{f(x)}\textbf{ tiene dos extremos relativos, uno mínimo y otro máximo. ¿El valor en el mínimo de la función es mayor o menor que el valor en el máximo?}\ (5\ \text{puntos})$

Se deriva la función y se iguala a cero en busca de los puntos críticos.

$f'(x)=-\dfrac{1}{100}+\dfrac{1}{(1-x)^2}$

$f'(x)=0 \Rightarrow \dfrac{1}{(1-x)^2}=\dfrac{1}{100} \Rightarrow (1-x)^2=100 \Rightarrow 1-x=\pm 10$

$\begin{cases} 1-x=10 \Rightarrow x=-9 \\ 1-x=-10 \Rightarrow x=11 \end{cases}$

Se caracterizan los dos puntos críticos con la segunda derivada.

$f''(x)=\dfrac{2}{(1-x)^3}$

$f''(-9)=\dfrac{2}{10^3}=\dfrac{2}{1000}>0 \Rightarrow \text{mínimo relativo}$

$f''(11)=\dfrac{2}{(-10)^3}=-\dfrac{2}{1000}<0 \Rightarrow \text{máximo relativo}$



Se calculan los valores de la función en ambos puntos.

$f(-9)=50+\dfrac{1-(-9)}{100}+\dfrac{1}{1-(-9)}=50+\dfrac{10}{100}+\dfrac{1}{10}=50+0{,}1+0{,}1=50{,}2$

$f(11)=50+\dfrac{1-11}{100}+\dfrac{1}{1-11}=50-\dfrac{10}{100}-\dfrac{1}{10}=50-0{,}1-0{,}1=49{,}8$

La función tiene dos extremos relativos: un mínimo en $(-9\,;50{,}2)$ y un máximo en $(11\,;49{,}8)$. El valor en el mínimo, $50{,}2$, es mayor que el valor en el máximo, $49{,}8$. No hay contradicción: la asíntota vertical $x=1$ separa las dos ramas de la gráfica, de modo que cada extremo es relativo solo dentro de su propia rama y no son comparables como extremos absolutos.

$\textbf{c) Supongamos que } \boldsymbol{x}\textbf{ representa el precio de venta de un kg de solomillo según la época del año, } \boldsymbol{x\in[5,21]}\textbf{ euros por kilo, y } \boldsymbol{f(x)}\textbf{ el ingreso diario de un mayorista (en cientos de euros) por la venta del producto. ¿A qué precio debe vender para obtener el máximo ingreso? ¿A cuántos euros asciende dicho ingreso máximo?}\ (3\ \text{puntos})$

Ahora la función se restringe al intervalo cerrado $[5,21]$, que no contiene la asíntota. El único punto crítico de ese intervalo es $x=11$, que ya se ha visto que es un máximo relativo. Se comparan su valor y los de los extremos del intervalo.

$f(5)=50+\dfrac{1-5}{100}+\dfrac{1}{1-5}=50-0{,}04-0{,}25=49{,}71$

$f(11)=49{,}8$

$f(21)=50+\dfrac{1-21}{100}+\dfrac{1}{1-21}=50-0{,}2-0{,}05=49{,}75$

El mayor de los tres valores es $f(11)=49{,}8$, así que el máximo absoluto en $[5,21]$ se alcanza en $x=11$.

Como el ingreso viene dado en cientos de euros:

$49{,}8\cdot 100=4980$

El mayorista debe vender a $11\ \text{€}$ el kilo, y el ingreso diario máximo asciende a $4980\ \text{€}$.