Ejercicio resuelto de Programación lineal · Matemáticas CCSS

Fernanda dispone de 10.000 euros para invertir. Le han recomendado dos productos que en el último año tuvieron buenos resultados: criptomonedas y fondos de inversión garantizados. Por lo que ha leído en la prensa espera que la rentabilidad anual de las criptomonedas sea del 30 % y la de los fondos de inversión sea del 5 %. Para que la inversión no sea demasiado arriesgada quiere invertir en fondos tanto o más que en criptomonedas y, además, le aconsejan invertir en criptomonedas un máximo de 3.000 euros y un mínimo de 1.000 €.

a) Plantee un problema de programación lineal que permita determinar cómo debe invertir Fernanda sus ahorros para obtener la máxima rentabilidad. (3 puntos)

b) Resuelva el problema y calcule la rentabilidad máxima conseguida con la inversión. (5 puntos)

c) Su gestor le dice que por la coyuntura económica actual el riesgo de inversión es del 35 % para las criptomonedas y 0 % para los fondos. Si Fernanda quisiera minimizar el riesgo de la inversión, justifique si invertir 1.000 euros en criptomonedas y 5.000 en fondos es una solución óptima (con las restricciones del enunciado). (2 puntos)

$\textbf{a) Plantee un problema de programación lineal que permita determinar cómo debe invertir Fernanda sus ahorros para obtener la máxima rentabilidad.}\ (3\ \text{puntos})$

Se llama $x$ a la cantidad de euros invertida en criptomonedas e $y$ a la cantidad de euros invertida en fondos de inversión.

La función objetivo que se desea maximizar es la rentabilidad anual: $R(x,y)=0{,}30x+0{,}05y$.

Las restricciones del problema son:

Dispone de 10.000 euros $\Rightarrow$ $x+y\leq 10000$.

Quiere invertir en fondos tanto o más que en criptomonedas $\Rightarrow$ $y\geq x$.

En criptomonedas invierte como máximo 3.000 euros $\Rightarrow$ $x\leq 3000$.

En criptomonedas invierte como mínimo 1.000 euros $\Rightarrow$ $x\geq 1000$.

Las cantidades invertidas no pueden ser negativas $\Rightarrow$ $y\geq 0$.

El problema de programación lineal queda planteado así:

$\max R(x,y)=0{,}30x+0{,}05y \quad\text{sujeto a}\quad \begin{cases} x+y\leq 10000\\ y\geq x\\ 1000\leq x\leq 3000\\ y\geq 0 \end{cases}$

$\textbf{b) Resuelva el problema y calcule la rentabilidad máxima conseguida con la inversión.}\ (5\ \text{puntos})$

Se representan las rectas que delimitan la región factible. La región factible es la zona coloreada en azul.



Las coordenadas de los vértices se obtienen resolviendo los sistemas de ecuaciones correspondientes.

Vértice $A$:

$\begin{cases}x=1000\\y=x\end{cases} \Rightarrow A(1000,1000)$

Vértice $B$:

$\begin{cases}x=3000\\y=x\end{cases} \Rightarrow B(3000,3000)$

Vértice $C$:

$\begin{cases}x=3000\\x+y=10000\end{cases} \Rightarrow y=7000 \Rightarrow C(3000,7000)$

Vértice $D$:

$\begin{cases}x=1000\\x+y=10000\end{cases} \Rightarrow y=9000 \Rightarrow D(1000,9000)$

Se valora la función rentabilidad $R(x,y)=0{,}30x+0{,}05y$ en cada uno de los vértices en busca del máximo.

$A(1000,1000) \Rightarrow R=300+50=350$

$B(3000,3000) \Rightarrow R=900+150=1050$

$C(3000,7000) \Rightarrow R=900+350=1250$

$D(1000,9000) \Rightarrow R=300+450=750$

La rentabilidad máxima se produce en el vértice $C(3000,7000)$.

Fernanda debe invertir 3.000 € en criptomonedas y 7.000 € en fondos de inversión, con lo que la rentabilidad máxima asciende a $1250\ \text{€}$ al año.

$\textbf{c) Su gestor le dice que por la coyuntura económica actual el riesgo de inversión es del 35 \% para las criptomonedas y 0 \% para los fondos. Si Fernanda quisiera minimizar el riesgo de la inversión, justifique si invertir 1.000 euros en criptomonedas y 5.000 en fondos es una solución óptima (con las restricciones del enunciado).}\ (2\ \text{puntos})$

La nueva función objetivo, que ahora hay que minimizar, es el riesgo:

$G(x,y)=0{,}35x+0\cdot y=0{,}35x$

El riesgo solo depende de $x$, así que se minimiza haciendo $x$ lo más pequeño posible. La restricción $x\geq 1000$ obliga a que el mínimo sea $x=1000$, y en ese caso

$G=0{,}35\cdot 1000=350\ \text{€}$

Todos los puntos factibles con $x=1000$ dan el mismo riesgo, de modo que el mínimo no se alcanza en un único vértice sino en todo el lado $AD$ de la región factible, el segmento de extremos $A(1000,1000)$ y $D(1000,9000)$.

Se comprueba que el punto propuesto pertenece a ese segmento y cumple todas las restricciones:

$\begin{cases} 1000+5000=6000\leq 10000 \\ 5000\geq 1000 \\ 1000\leq 1000\leq 3000 \end{cases}$

Sí es una solución óptima: invertir 1.000 € en criptomonedas y 5.000 € en fondos minimiza el riesgo, que vale $350\ \text{€}$, aunque no es la única, porque cualquier reparto con 1.000 € en criptomonedas da ese mismo riesgo mínimo.