Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas CCSS

Dado el sistema lineal $\begin{cases}(m+1)x=m-2\\2x+y=-3\\3x-2y+mz=-8\end{cases}$ se pide:

a) Exprese el sistema anterior en forma matricial $(AX=B)$ y determine el valor o valores del parámetro $m$ para que el sistema sea compatible determinado. (3 puntos)

b) ¿Existe algún valor del parámetro $m$ para que el sistema sea compatible indeterminado? En caso afirmativo, resuelva el sistema. (3 puntos)

c) Para $m=1$, calcule $X=A^{-1}B$, siendo $A$, $B$ las matrices del apartado a). (4 puntos)

$\textbf{a) Exprese el sistema anterior en forma matricial } \boldsymbol{(AX=B)}\textbf{ y determine el valor o valores del parámetro } \boldsymbol{m}\textbf{ para que el sistema sea compatible determinado.}\ (3\ \text{puntos})$

Se escribe el sistema en forma matricial, colocando en cada fila los coeficientes de $x$, $y$ y $z$ y completando con ceros las incógnitas que no aparecen.

$\begin{pmatrix}m+1&0&0\\2&1&0\\3&-2&m\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}m-2\\-3\\-8\end{pmatrix}$

El sistema es compatible determinado cuando el determinante de la matriz de los coeficientes no se anula. Al ser triangular inferior, el determinante es el producto de los elementos de la diagonal principal.

$|A|= \begin{vmatrix}m+1&0&0\\2&1&0\\3&-2&m\end{vmatrix} =(m+1)\cdot 1\cdot m=m(m+1)$

$|A|=0 \Rightarrow m(m+1)=0 \Rightarrow \begin{cases}m=0\\m=-1\end{cases}$

El sistema es compatible determinado para todo $m\neq 0$ y $m\neq -1$.

$\textbf{b) ¿Existe algún valor del parámetro } \boldsymbol{m}\textbf{ para que el sistema sea compatible indeterminado? En caso afirmativo, resuelva el sistema.}\ (3\ \text{puntos})$

Hay que estudiar los dos valores que anulan el determinante.

Para $m=-1$ el sistema queda

$\begin{cases} 0\cdot x=-3\\ 2x+y=-3\\ 3x-2y-z=-8 \end{cases}$

La primera ecuación es $0=-3$, que es imposible, de modo que para $m=-1$ el sistema es incompatible.

Para $m=0$ el sistema queda

$\begin{cases} x=-2\\ 2x+y=-3\\ 3x-2y=-8 \end{cases}$

La matriz de los coeficientes tiene su tercera columna nula, así que su rango es $2$, pues el menor $\begin{vmatrix}1&0\\2&1\end{vmatrix}=1\neq 0$. Se comprueba el rango de la ampliada orlando ese menor con la columna de términos independientes:

$\begin{vmatrix}1&0&-2\\2&1&-3\\3&-2&-8\end{vmatrix} =1(-8-6)-0+(-2)(-4-3)=-14+14=0$

Por tanto $\operatorname{rg}(A)=\operatorname{rg}(A|B)=2<3$ y el sistema es compatible indeterminado con un grado de libertad.

Se resuelve: de la primera ecuación, $x=-2$; sustituyendo en la segunda,

$2(-2)+y=-3 \Rightarrow y=1$

Se comprueba la tercera ecuación:

$3(-2)-2\cdot 1=-6-2=-8$

La incógnita $z$ no aparece en ninguna ecuación, así que puede tomar cualquier valor.

Existe un único valor, $m=0$, para el que el sistema es compatible indeterminado, y su solución es $x=-2$, $y=1$, $z=\lambda$, con $\lambda\in\mathbb{R}$.

$\textbf{c) Para } \boldsymbol{m=1}\textbf{, calcule } \boldsymbol{X=A^{-1}B}\textbf{, siendo } \boldsymbol{A}\textbf{, } \boldsymbol{B}\textbf{ las matrices del apartado a).}\ (4\ \text{puntos})$

Para $m=1$ las matrices son

$A= \begin{pmatrix}2&0&0\\2&1&0\\3&-2&1\end{pmatrix}, \qquad B= \begin{pmatrix}-1\\-3\\-8\end{pmatrix}$

$|A|=2\cdot 1\cdot 1=2\neq 0$

Al ser el determinante distinto de cero, la matriz $A$ tiene inversa. Se calcula por el método de los adjuntos.

1) Se calcula la matriz de los adjuntos:

$\operatorname{Adj}(A)= \begin{pmatrix}1&-2&-7\\0&2&4\\0&0&2\end{pmatrix}$

2) Se calcula su traspuesta:

$(\operatorname{Adj}(A))^{t}= \begin{pmatrix}1&0&0\\-2&2&0\\-7&4&2\end{pmatrix}$

3) Se aplica la fórmula:

$A^{-1}=\dfrac{1}{2} \begin{pmatrix}1&0&0\\-2&2&0\\-7&4&2\end{pmatrix}$

Ya se puede calcular la matriz $X$:

$X=A^{-1}B=\dfrac{1}{2} \begin{pmatrix}1&0&0\\-2&2&0\\-7&4&2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}-1\\-3\\-8\end{pmatrix}$

$X=\dfrac{1}{2} \begin{pmatrix} 1\cdot(-1)+0\cdot(-3)+0\cdot(-8) \\ (-2)\cdot(-1)+2\cdot(-3)+0\cdot(-8) \\ (-7)\cdot(-1)+4\cdot(-3)+2\cdot(-8) \end{pmatrix} =\dfrac{1}{2} \begin{pmatrix}-1\\-4\\-21\end{pmatrix}$

$X= \begin{pmatrix}-\dfrac{1}{2}\\[4pt]-2\\[4pt]-\dfrac{21}{2}\end{pmatrix}$

Se comprueba el resultado en la tercera ecuación del sistema:

$3\left(-\dfrac{1}{2}\right)-2(-2)+\left(-\dfrac{21}{2}\right)=-\dfrac{3}{2}+4-\dfrac{21}{2}=-8$

La solución para $m=1$ es $x=-\dfrac{1}{2}$, $y=-2$, $z=-\dfrac{21}{2}$.